在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足向量OC=1/3向量OA+2/3向量OB.

(1)求证：A、B、C三点共线；
（2）已知A（1，cosx）、B（1+sinx，cosx），x∈[0，π/2] f（x）=向量OA·向量OC+（2m+1/3）·向量AB的模+m^2的最小值为5，求实数m的值.

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(1)向量OC=1/3向量OA+2/3向量OB,
∴向量AC=OC-OA=(2/3)(OB-OA)=(2/3)AB,
∴A,B,C三点共线。
(2)A（1，cosx）、B（1+sinx，cosx），x∈[0，π/2],
∴AB=(sinx,0),
OA*OC=(1/3)OA^2+(2/3)OA*OB
=(1/3)[1+(cosx)^2]+(2/3)[1+sinx+(cosx)^2]
=1+(2/3)sinx+(cosx)^2,
∴f(x)=1+(2/3)sinx+(cosx)^2+(2m+1/3)|sinx|+m^2,
设u=sinx∈[0,1],则
f(x)=2+(2m+1)u-u^2，记为g(u),
g(0)=2<5,题目有误。

1.证明：oc=1/3oa+2/3ob 可变为 oc-oa=2/3(ob-oa)，即ac=2/3ab，说明ac和ab两向量同向，所以abc三点共线。

 

 

2.解：oa=（1，cosx），ob=（1+sinx，cosx）

利用（1）中的证明结果ac=2/3ab可知

oc=（sinx*2/3+1，cosx）

由此可知，|ab|=√（sinx的平方）=sinx（由条件x属于[0,派π/2]可得sinx>0），

再将oa，oc和|ab|的值代入f(x)=oa*oc-（2m^2+2/3)*|ab|，

化简可得，f(x)=2-(sinx)^2-sinx*2m^2，

令sinx=t，由0≤x≤π 得0≤sinx≤1，即0≤t≤1，

则原函数可变为f（t）=-t^2-2m^2*t+2，

由二次函数性质可知，其对称轴t<0且开口向下，图像经过y轴（0，2）点，

则f（t）在0≤t≤1上是单调递减的，

所以当t=1时，即x=π/2时，f（x）可取得最小值1/2，

代入化简即得m^2=1/4，所以m=1/2 或 m=-1/2.