已知函数f(x)=x2-2alnx,其中a为正的常数.
答案:2 悬赏:50
解决时间 2021-02-16 23:27
- 提问者网友:无依无靠的距离
- 2021-02-15 23:52
(1)当a=1时,求f(x)的单调递减区间;(2)试判断函数y=f(x)的零点个数;(3)设G(x)=f(x)+m,若当x?[1/e,e]时,函数G(x)的图像恒在x轴的上方,求实数m的取值范围.
最佳答案
- 二级知识专家网友:浪者不回头
- 2021-02-16 00:33
(1) f(x)=x^2-2lnx
令f’(x)=2x-2/x=(2x^2-2)/x=0==>x=1,
x∈(0,1), f’(x)<0, x∈(1,+ ∞), f’(x)>0,∴f(x)在x=1时取极小值
f(x)的单调递减区间为(0,1)
(2) f(x)=x^2-2alnx, 令f’(x)=2x-2a/x=(2x^2-2a)/x=0==>x=√a
f(√a)=a-2aln√a=a-alna=0==>a=e
∴a∈(0,e)时,函数y=f(x)无零点,a=e时,函数y=f(x)有1个零点,a∈(e,+∞)时,函数y=f(x)有二个零点
(3) G(x)= x^2-2alnx+m,当x∈[1/e,e]时,函数G(x)的图像恒在x轴的上方
由(2)知a∈(0,e]时,函数y=f(x)无零点或有1个零点
则m>0时,x∈[1/e,e]时,函数G(x)的图像恒在x轴的上方
令f’(x)=2x-2/x=(2x^2-2)/x=0==>x=1,
x∈(0,1), f’(x)<0, x∈(1,+ ∞), f’(x)>0,∴f(x)在x=1时取极小值
f(x)的单调递减区间为(0,1)
(2) f(x)=x^2-2alnx, 令f’(x)=2x-2a/x=(2x^2-2a)/x=0==>x=√a
f(√a)=a-2aln√a=a-alna=0==>a=e
∴a∈(0,e)时,函数y=f(x)无零点,a=e时,函数y=f(x)有1个零点,a∈(e,+∞)时,函数y=f(x)有二个零点
(3) G(x)= x^2-2alnx+m,当x∈[1/e,e]时,函数G(x)的图像恒在x轴的上方
由(2)知a∈(0,e]时,函数y=f(x)无零点或有1个零点
则m>0时,x∈[1/e,e]时,函数G(x)的图像恒在x轴的上方
全部回答
- 1楼网友:飘零作归宿
- 2021-02-16 01:08
f(x)=x^2-2alnx
f'(x)=2x-2a/x在定义域上是增函数,则有f'(x)>=0在x>0上成立。
2x-2a/x>=0
2a<=2x^2,而x^2>0
即有a<=0
2.当a<=0时,函数单调增,则有最小值是f(1)=1-2aln1=1
当a>0时,f'(x)=2x-2a/x>0时有,x^2>a,x>根号a
f'(x)=2x-2a/x<0时有,x^22,a>4时,最小值是f(2)=4-2aln2
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