证明不等式:1+1/2+1/3+…+1/(2&n)小于等于1/2+n.注:2&n是2的n次方
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解决时间 2021-02-02 11:44
- 提问者网友:醉人眸
- 2021-02-02 01:01
证明不等式:1+1/2+1/3+…+1/(2&n)小于等于1/2+n.注:2&n是2的n次方
最佳答案
- 二级知识专家网友:努力只為明天
- 2021-02-02 01:16
证明不等式:1+1/2+1/3+…+1/(2^n)≤1/2+n
①当n=1时,1+n/2=1.5,1+1/2+1/3+……+1/2^n=1.5,1/2+n=1.5,该式成立。
②假设n=k时该式成立,可得:(1+1/2+1/3+.....+1/2^k)-(1+k/2)≥0,(1/2+k)-(1+1/2+1/3+.....+1/2^k)≥0。
求证n=k+1时该式也成立。
③n=k+1时,原式的三项分别为1+(k+1)/2=1+k/2+1/2;1+1/2+1/3+.....+1/2^(k+1)=1+1/2+1/3+.....+1/2^k+1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+1/(2^k+3)+……+1/(2^k+2^k);1/2+k+1
两个≥号分别证明。
第一个≥号的证明:
1+1/2+1/3+.....+1/2^k+1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+1/(2^k+3)+……+1/(2^k+2^k)-(1+k/2+1/2)=(1+1/2+1/3+.....+1/2^k-(1+k/2))+(1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+1/(2^k+3)+……+1/(2^k+2^k)-1/2)
前一个括号里自然≥0;只要算后一个括号里即可:
显然,1/(2^k+1)>1/(2^k+2)>1/(2^k+3)>……>1/(2^k+2^k),且共有2^k项,所以1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+1/(2^k+3)+……+1/(2^k+2^k)>1/(2^k+2^k)*2^k,即1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+1/(2^k+3)+……+1/(2^k+2^k)>1/2,则第二个括号里>0,加起来自然≥0。
第二个≥号的证明:
1/2+k+1-(1+1/2+1/3+.....+1/2^(k+1)=1+1/2+1/3+.....+1/2^k+1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+1/(2^k+3)+……+1/(2^k+2^k))=(1/2+k-(1+1/2+1/3+.....+1/2^(k+1)=1+1/2+1/3+.....+1/2^k))+(1-(1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+1/(2^k+3)+……+1/(2^k+2^k)))
同上,第一个括号里自然≥0;只要算后一个括号里即可:显然,1/(2^k+1)>1/(2^k+2)>1/(2^k+3)>……>1/(2^k+2^k),且共有2^k项,所以1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+1/(2^k+3)+……+1/(2^k+2^k)<1/(2^k+1)*2^k,2^k/(2^k+1)<1,则1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+1/(2^k+3)+……+1/(2^k+2^k)<1,则第二个括号里>0,加起来自然≥0。
∴原式得证。
①当n=1时,1+n/2=1.5,1+1/2+1/3+……+1/2^n=1.5,1/2+n=1.5,该式成立。
②假设n=k时该式成立,可得:(1+1/2+1/3+.....+1/2^k)-(1+k/2)≥0,(1/2+k)-(1+1/2+1/3+.....+1/2^k)≥0。
求证n=k+1时该式也成立。
③n=k+1时,原式的三项分别为1+(k+1)/2=1+k/2+1/2;1+1/2+1/3+.....+1/2^(k+1)=1+1/2+1/3+.....+1/2^k+1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+1/(2^k+3)+……+1/(2^k+2^k);1/2+k+1
两个≥号分别证明。
第一个≥号的证明:
1+1/2+1/3+.....+1/2^k+1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+1/(2^k+3)+……+1/(2^k+2^k)-(1+k/2+1/2)=(1+1/2+1/3+.....+1/2^k-(1+k/2))+(1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+1/(2^k+3)+……+1/(2^k+2^k)-1/2)
前一个括号里自然≥0;只要算后一个括号里即可:
显然,1/(2^k+1)>1/(2^k+2)>1/(2^k+3)>……>1/(2^k+2^k),且共有2^k项,所以1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+1/(2^k+3)+……+1/(2^k+2^k)>1/(2^k+2^k)*2^k,即1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+1/(2^k+3)+……+1/(2^k+2^k)>1/2,则第二个括号里>0,加起来自然≥0。
第二个≥号的证明:
1/2+k+1-(1+1/2+1/3+.....+1/2^(k+1)=1+1/2+1/3+.....+1/2^k+1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+1/(2^k+3)+……+1/(2^k+2^k))=(1/2+k-(1+1/2+1/3+.....+1/2^(k+1)=1+1/2+1/3+.....+1/2^k))+(1-(1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+1/(2^k+3)+……+1/(2^k+2^k)))
同上,第一个括号里自然≥0;只要算后一个括号里即可:显然,1/(2^k+1)>1/(2^k+2)>1/(2^k+3)>……>1/(2^k+2^k),且共有2^k项,所以1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+1/(2^k+3)+……+1/(2^k+2^k)<1/(2^k+1)*2^k,2^k/(2^k+1)<1,则1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+1/(2^k+3)+……+1/(2^k+2^k)<1,则第二个括号里>0,加起来自然≥0。
∴原式得证。
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- 1楼网友:废途浑身病态
- 2021-02-02 04:47
你这道题好不规范啊,哪有这样的题,省略号前后不一致!!!!!!!!!!!!!
- 2楼网友:如果这是命
- 2021-02-02 03:14
题目有问题。。1/3是2的几次方?
- 3楼网友:末路丶一枝花
- 2021-02-02 02:07
2的n次方大家都表示成2^n的!
1/2+n是(1/2)+n还是=1/(2+n)?是哪个啊?
证明不等式:1+1/2+1/3+…+1/(2^n)≤1/2+n
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