关于二元函数极值存在的充分性证明

设二元函数f在P0(x0,y0)的某邻域U(P0)内具有二阶连续偏导数,且P0是f的稳定点,
证明：
当Hf(P0)是正定矩阵时,f在P0取得极小值应;当Hf(P0)是负定矩阵时,f在P0取得极大值;当Hf(P0)是不定矩阵时,f在P0不取极值.其中Hf(P0)为黑赛矩阵.

拒绝复制粘贴一大堆公式什么的，我旁边就有数学分析。要求把证明过程讲清楚就好。

泰勒展开到第二项： f(p0+v) = f(p0) + grad(f) . v + v' H v /2 + o(|v|^2)
其中grad(f)=(fx, fy)是梯度（行）向量， H是Hessian矩阵
依假设 grad(f)=0，所以只需要考察 v' H v 的性质。
因H对称，存在正交阵P，使得H对角化成 H = P' diag(h1, h2) P
所以f(p0+v) = f(p0) + (Pv)' diag(h1, h2) (Pv) / 2 + o(|v|^2)
若H正定, h1, h2 都是正数，对任意的非0的v, 令w=Pv=(w1,w2)',
w'diag(h1, h2)w = h1*w1^2+h2*w2^2 是正的，就是说，p0周围小邻域内的任意点的函数值
都比f(p0)大。
其它的情况类似讨论就行。

x+2y=150 f=0.005x²·(150-x)/2=0.0025(150x²-x³) f'=0.0025(300x-3x²) 驻点x=0 (不合题意，舍去）x=100 f''=0.0025(300-6x) f''(100)<0 ∴f(100)=0.0025(150·10⁴-10⁶)=1250是最大值 此时甲数量=100，乙数量=25 （由于数量之间存在x+2y=150的关系，可以用代入法，变成求一元函数的无条件极值）

由于有自己的一组线，但也有别人给你咀嚼进食前！