已知函数fx=ax^2+bx+c的绝对值求fx的单调性

已知函数fx=ax^2+bx+c的绝对值求fx的单调性

f(x)=|ax²+bx+c|
当Δ=b²-4ac≤0时
x∈(-∞,-b/2a) f(x)单调递减,x∈(-b/2a,+∞) f(x)单调递增
Δ=b²-4ac>0
x∈(-∞,左侧零点)∪(-b/2a,右侧零点)f(x)单调递减
x∈(左侧零点,-b/2a)∪(右侧零点,+∞)f(x)单调递减

分析： 当｜x｜<=1时恒有f(x)<=1,则f(-1),f(0),f（1）均<=1 得到：f(1)=｜a+b+c｜<=1           f(-1)=｜a-b+c｜<=1           f(0)=｜c｜<=1 为了避免中间环节扩大a、b的取值范围，需用待定系数法寻找f(λ)与f(1)、f(-1)与c的关系 f(-λ)=｜aλ^2-bλ+c｜ 设v*(a+b+c)+m*(a-b+c）+n*（c)=aλ^2+bλ+c                解得：v=（λ^2-λ）/2     m=（λ^2+λ）/2   p=-λ^2+1         v,m>0 p<0。在下面的转化中          注意公式｜a+b｜（或者｜a-b｜）<=｜a｜+｜b｜中不论a，b取值，小于号后面必须是两个大于0的绝对值，系数也要大于0，所以p=-λ^2+1在使用要转化成大于0的p=-（-λ^2+1）=λ^2-1 得到f(λ)=｜aλ^2-bλ+c｜=｜（λ^2-λ）/2 *(a+b+c)+（λ^2+λ）/2*(a-b+c）+（-λ^2+1）*c｜                                      =｜（λ^2-λ）/2*f(1) ｜+｜（λ^2+λ）/2*f(-1)｜+｜（λ^2-1）*c｜(注意p要变正）                                     <=（λ^2-λ）/2 +（λ^2+λ）/2+（λ^2-1）=2λ^2-1 f(-λ）=｜aλ^2+bλ+c｜=｜（λ^2+λ）/2 *(a+b+c)+（λ^2-λ）/2*(a-b+c）+（-λ^2+1）*c｜                                   = ｜（λ^2+λ）/2*f(1) ｜+｜（λ^2-λ）/2*f(-1)｜+｜（λ^2-1）*c｜注意p要变正）                                  <=（λ^2+λ）/2 +（λ^2-λ）/2+（λ^2-1）=2λ^2-1