四边形ABCD是矩形，对角线AC,BD交于O点，E是AD上一动点，EF垂直AO于F,EG垂直OD于G,求EF+EG定值

四边形ABCD是矩形，对角线AC,BD交于O点，E是AD上一动点，EF垂直AO于F,EG垂直OD于G,求EF+EG定值

解：连接EO，做OH⊥AD，交AD于H；
设AD=BC=a，AB=CD=b（矩形对边相等）
则：AC=BD=√(a²+b²)（矩形对角线相等）
因为，OH⊥AD（所做），OA=OD（矩形的对角线互相平分）
所以，H是AD的中点（等腰三角形底边高也是底边垂直平分线）
因为，O是BD中点（矩形的对角线互相平分）
所以：OH=(1/2)b（三角形两边的中位线等于第三边的一半）
则：S⊿AOD=(1/2)AD·OH=(1/2)a(1/2)b=(1/4)ab……①
又S⊿AOD=S⊿AOE+⊿DOE=(1/2)EF·(1/2)AC+(1/2)EG·(1/2)BD=(1/4)(EF+EG)√(a²+b²)……②
由①，②得：(1/4)ab=(1/4)(EF+EG)√(a²+b²)
即：EF+EG=ab/√(a²+b²)

证明：连接be 因为四边形abcd是平行四边形 所以bo=od=1/2bd=ab 所以三角形abo是等腰三角形 因为e是ao中点 根据等腰三角形三线合一得：bf⊥ac 在直角三角形bfc中，g是bc中点 所以eg=1/2bc=1/2ad 因为e,f分别是ao,do中点 所以ef=1/2ad 所以ef=eg