limn→∞1/n(1+2^1/2+3^1/3+……+n^1/n)=？
答案:2 悬赏:0
解决时间 2021-01-27 11:31
- 提问者网友：嗝是迷路的屁
- 2021-01-26 16:34
limn→∞1/n(1+2^1/2+3^1/3+……+n^1/n)=？
最佳答案
- 二级知识专家网友：纵马山川剑自提
- 2021-01-26 17:37
用夹逼定理
原式∞)(n^1/n+n^1/n+...+n^1/n)/n=lim(n->∞)n^1/n
y=n^(1/n)
lny=lnn/n
当n→∞时,lnn/n是∞/∞型,可以用洛必达法则
limn→∞lnn/n=limn→∞1/n=0
所以limn→∞n^(1/n)=e^0=1
原式又>lim(n->∞)(1+1+...+1)/n=1
因此由夹逼定理，极限为1
追问：证明limn→∞lnn/n=0还有别的办法吗
追答：那就只能用定义来做了
先证明一个不等式:lnn<√n,n∈N+
作函数y=lnx-√x,x∈R+,则y'=1/x-1/2√x=(2-√x)/2x
令y'=0,解得x=4,且当00,x>4时,y'<0
∴ymax=ln4-√4=2(ln2-1)<0
即对于任意x∈R+,y<0恒成立,∴对于任意n∈N+,都有lnn<√n
∴|lnn/n-0|<|√n/n|=1/√n
∴取N=[1/E²],则当n>N时,有|lnn/n-0|追问：等等，，怎样证明y=n^1/n是单调递增的？
原式
y=n^(1/n)
lny=lnn/n
当n→∞时,lnn/n是∞/∞型,可以用洛必达法则
limn→∞lnn/n=limn→∞1/n=0
所以limn→∞n^(1/n)=e^0=1
原式又>lim(n->∞)(1+1+...+1)/n=1
因此由夹逼定理，极限为1
追问：证明limn→∞lnn/n=0还有别的办法吗
追答：那就只能用定义来做了
先证明一个不等式:lnn<√n,n∈N+
作函数y=lnx-√x,x∈R+,则y'=1/x-1/2√x=(2-√x)/2x
令y'=0,解得x=4,且当0
∴ymax=ln4-√4=2(ln2-1)<0
即对于任意x∈R+,y<0恒成立,∴对于任意n∈N+,都有lnn<√n
∴|lnn/n-0|<|√n/n|=1/√n
∴取N=[1/E²],则当n>N时,有|lnn/n-0|
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- 1楼网友：孤独入客枕
- 2021-01-26 18:00
发散，无解
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