求助！一道不等式的题，已知abcd=1，都是正实数，求证： 1/a+1/b+1/c+1/d+9/(a+b+c+d)>=25/4
答案:2 悬赏:20
解决时间 2021-02-22 01:58
- 提问者网友：很好的背叛
- 2021-02-21 09:55
女子数学奥林匹克的题，大神们给力啊，求教！
最佳答案
- 二级知识专家网友：佛说妍妍很渣
- 2021-02-21 11:19
f(a,b,c,d)=1/a+1/b+1/c+1/d+9/(a+b+c+d)-25/4+λ(abcd-1)
f'a=-1/a^2-9/(a+b+c+d)^2+λbcd=0 (对a求导）
f'b=-1/b^2-9/(a+b+c+d)^2+λacd=0
f'c=-1/c^2-9/(a+b+c+d)^2+λabd=0
f'd=-1/d^2-9/(a+b+c+d)^2+λabc=0
由上可得a=b=c=d=1
函数f(a,b,c,d)有极小值0
即有1/a+1/b+1/c+1/d+9/(a+b+c+d)>=25/4
f'a=-1/a^2-9/(a+b+c+d)^2+λbcd=0 (对a求导）
f'b=-1/b^2-9/(a+b+c+d)^2+λacd=0
f'c=-1/c^2-9/(a+b+c+d)^2+λabd=0
f'd=-1/d^2-9/(a+b+c+d)^2+λabc=0
由上可得a=b=c=d=1
函数f(a,b,c,d)有极小值0
即有1/a+1/b+1/c+1/d+9/(a+b+c+d)>=25/4
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- 1楼网友：旧事诱惑
- 2021-02-21 12:44
a+b+c<=(a+b+c/3)3
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