在等腰直角三角形ABC中,角C=90度,AB=AC,过C作AB平行线CD取AB=BD,BD交AC于E,求证:AD=AE

在等腰直角三角形ABC中,角C=90度,AB=AC,过C作AB平行线CD取AB=BD,BD交AC于E,求证:AD=AE

证明：
过B点作BG⊥DC，交DC延长线于G
∵⊿ABC 是等腰直角三角形
∴∠CAB=∠CBA=45º
∵CD//AB
∴∠GCB=∠CBA=45º
∴⊿CBG也是等腰直角三角形
设CG=BG=1，则CB=AC=√2，AB=2
∵AB=BD
∴BG=½BD
∴∠BDG=30º【30º角所对的直角边等于斜边的一半】
∵DC//AB
∴∠ABD=∠BDG =30º...................................①
∵AB=BD
∴∠ADB=∠DAB=（180º-30º）÷2=75º
∵∠AED=∠DCE+∠CDE=45º+30º=75º【∵DC//AB∴∠DCE=∠CAB=45º】
∴∠ADB=∠AED
∴AD=AE.............................................②

如图，设ab=ac=a，∠abe=t， ∵△abc为等腰直角三角形，∴∠abe=t=∠abc/2=45°/2=22.5° ∵△abe为直角三角形，又at⊥bd，∴△ate∽△bae ∴∠tae=∠abe=t， ∴at=asint，ae=atant，te=aesint=atant*sint，be=a/cost  ∴(at+te)/be=(1+tant)sint*cost=1/2*(1+tant)sin(2t)=1/2*(1+tan22.5°)sin45° 而由sin45°=√2/2=2tan22.5°/(1+tan²22.5°)解得tan22.5°=√2-1      （√2+1>1舍弃） ∴(at+te)/be=1/2*(1+tan22.5°)sin45°=1/2*(1+√2-1)*√2/2=1/2 即at+te的长度为be的一半

题目错了，BC=AC 有两种情况，E在AC中间，E在CA延长线上。 E在AC中间时，有： BD/sin∠ECB=BC/sin∠CEB BD=AB=√2BC,∠ECB=135°，所以∠CEB=30° 所以∠EBC=15° 所以∠CEB=75°，∠EBA=30° AB=BD 所以∠BDA=∠BAD=75° 即有∠ADE=75°=∠AED，AE=AD E在CA延长线上，思路是一样的，自己算吧。 ∠ADE=15°=∠AED