已知函数f（x）=sinx+cosx，且f′（x）=2f（x），f′（x）是f（x）的导函数，则1+sin2xcos2x?sin2x=_____

已知函数f（x）=sinx+cosx，且f′（x）=2f（x），f′（x）是f（x）的导函数，则1+sin2xcos2x?sin2x=______．

因为函数f（x）=sinx+cosx，所以f′（x）=cosx-sinx，
由f′（x）=2f（x），得：cosx-sinx=2sinx+2cosx，即cosx=-3sinx，
所以
1+sin2x
cos2x?sin2x ＝
1+sin2x
1?sin2x?2sinx?cosx ＝
1+sin2x
1?sin2x?2sinx(?3sinx)
=
1+sin2x
1+5sin2x ①．
由cosx=-3sinx，得：cos2x=9sin2x，代入sin2x+cos2x=1，得：sin2x＝
1
10 ②．
把②代入①得：
1+sin2x
1+5sin2x ＝
11
15 ．
所以，则
1+sin2x
cos2x?sin2x =
11
15 ．
故答案为
11
15 ．

函数的导数为f′（x）=cosx-sinx， ∵f（x）=2f′（x）， ∴sinx+cosx=2cosx-2sinx， 即3sinx=cosx， 则 sin2x?sin2x cos2x = sin2x?2sinxcosx cos2x = sin2x?6sinx2x 9sin2x =? 5 9 ， 故答案为：? 5 9