I=∬4xzdydz-2yzdzdx+(1-z^2)dxdy,其中∑是曲线z=e^y(0≤y≤a)绕z轴旋转生成的旋转面，取下侧

I=∬4xzdydz-2yzdzdx+(1-z^2)dxdy,其中∑是曲线z=e^y(0≤y≤a)绕z轴旋转生成的旋转面，取下侧

曲线z=e^y绕z轴旋转一周后为一旋转体，z的范围是z：0→e^a，
由于曲面不封闭，首先被为封闭曲面
补Σ1：z=e^a，x²+y²≤a²，上侧
∫∫(Σ+Σ1) 4xzdydz-2yzdxdz+(1-z²)dxdy
高斯公式
=∫∫∫ (4z-2z-2z) dxdydz
=0

下面计算补的平面上的积分：
∫∫Σ1 4xzdydz-2yzdxdz+(1-z²)dxdy
=∫∫ [1-e^(2a)] dxdy
=[1-e^(2a)]πa²

因此原积分=0 - [1-e^(2a)]πa² = [e^(2a)-1]πa²

【数学之美】团队为您解答，若有不懂请追问，如果解决问题请点下面的“选为满意答案”。

曲面不封闭，不能直接用高斯公式。