已知函数f(x)=log1/2 根号2sin(x-π/4)的定义域，并判断它的奇偶性及单调区间

答案:3 悬赏:30

解决时间 2021-02-21 01:23

提问者网友：单纯说谎家
2021-02-20 07:20

最佳答案

二级知识专家网友：统治我的世界
2021-02-20 08:53

f(x)=log1/2(sqrt(2)sin(x-π/4))
定义域：sin(x-π/4)>0，即：2kπ<x-π/4<2kπ+π，即：x∈(2kπ+π/4,2kπ+5π/4)，k∈Z
其实只看函数的定义域就知道，函数非奇非偶，因为定义域不关于原点对称
f(x)是y=log1/2(u)和u=sqrt(2)sin(x-π/4)的复合函数，log1/2(u)是减函数
故函数的增区间：x∈[2kπ+3π/4,2kπ+5π/4)，k∈Z
函数的减区间：x∈(2kπ+π/4,2kπ+3π/4]，k∈Z

全部回答

1楼网友：為→妳鎖鈊
2021-02-20 11:34

定义域 log函数真数部分大于0 即根号2sin（x-π/4）>0 即 sin（x-π/4）>0 即 2kπ<x-π/4<(2k+1)π 可得{x|π/4+2kπ<x<5π/4+2kπ} 值域因为定义域所以根号2sin（x-π/4)∈(0，根号2] 1/2<1 所以 y=log1/2[x] 单调递减 log1/2【根号2】=-1/2 可得y属于[-1/2,正无穷）奇偶性定义域关于原点和y轴都不对称所以既不是奇函数也不是偶函数周期性内层函数最小正周期为2π 所以最小正周期为2π

2楼网友：山鬼偶尔也合群
2021-02-20 10:30

因为对数函数要求真数大于0，所以√2sin（x-π/4）>0 即sin（x-π/4）>0 由正弦函数图像可知，2kπ0 所以0<√2sin（x-π/4）≤√2 因为底数是1/2，函数单调递减，所以当√2sin（x-π/4）=√2时，f(x)取得最小值为-1/2 答案：定义域为(π/4+2kπ，（5/4)π+2kπ) 值域为[-1/2，+∞）

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