数学归纳法在高中新教材第几册第几章（具体第几页）

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我现在学这 哈哈 第三册第四章78页

数学上证明与自然数n有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。

（一）第一数学归纳法：

　　一般地，证明一个与自然数n有关的命题p(n)，有如下步骤：

　　（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；

　　（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题p(n)都成立。

　　（二）第二数学归纳法：

　　对于某个与自然数有关的命题p(n)，

　　（1）验证n=n0时p(n)成立；

　　（2）假设n0≤n<k时p(n)成立，并在此基础上，推出p(k+1)成立。

　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题p(n)都成立。

　　（三）倒推归纳法（反向归纳法）：

　　（1）验证对于无穷多个自然数n命题p(n)成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）；

　　（2）假设p(k+1)（k≥n0）成立，并在此基础上，推出p(k)成立，

　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题p(n)都成立；

　　（四）螺旋式归纳法

　　对两个与自然数有关的命题p(n)，q(n)，

　　（1）验证n=n0时p(n)成立；

　　（2）假设p(k)（k>n0）成立，能推出q(k)成立，假设 q(k)成立，能推出 p(k+1)成立；

　　综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），p(n)，q(n)都成立。

数学归纳法的变体　　在应用，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。下面介绍一些常见的数学归纳法变体。

从0以外的数字开始

　　如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改：

　　第一步，证明当n=b时命题成立。 第二步，证明如果n=m(m≥b)成立，那么可以推导出n=m+1也成立。

　　用这个方法可以证明诸如“当n≥3时，n2>2n”这一类命题。

只针对偶数或只针对奇数

　　如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有奇数或偶数，那么证明的步骤需要做如下修改：

　　奇数方面：

　　第一步，证明当n=1时命题成立。 第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。

　　偶数方面：

　　第一步，证明当n=0或2时命题成立。 第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。

递降归纳法

　　数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题。对于形如“对任意的n=0,1,2,...,m”这样的命题，如果对一般的n比较复杂，而n=m比较容易验证，并且我们可以实现从k到k-1的递推，k=1,...,m的话，我们就能应用归纳法得到对于任意的n=0,1,2,...,m，原命题均成立。

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第三册第二章,是老教材