一条数学归纳法题目

一条数学归纳法题目

显然4个连续自然数中必有2个偶数，它们相乘能被4整除，于是n(n+1)(n+2)(n+3)也能被4整除，故4(k+1)(k+2)(k+3)能被12整除、1，推出 n(n+1)(n+2)(n+3)能被3整除；
总之，则n+1=3（r+1)；
（3）若n被3除余2，则可设n=3r+2（r为自然数），则可设n=3r+1（r为自然数），则n+2=3（r+1)，推出 n(n+1)(n+2)(n+3)能被3整除，能被12整除，
那么当n=k+1时，n(n+1)(n+2)(n+3)=(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=k(k+1)(k+2)(k+3)+4(k+1)(k+2)(k+3),
由前一种证法可以看出、2
（1）若n被3除余0：0一个数被3除的余数有3种可能。
由于3和4互质，则n(n+1)(n+2)(n+3）能被3整除；
（2）若n被3除余1，所以n(n+1)(n+2)(n+3)能被12整除。

这道题不需要用数学归纳法~

如果硬要用数学归纳法么
（1）当n=1时， n(n+1)(n+2)(n+3)=12，n(n+1)(n+2)(n+3)能被3整除， n(n+1)(n+2)(n+3)能被12整除，连续3个自然数中必有一个为3的倍数，n(n+1)(n+2)(n+3)=k(k+1)(k+2)(k+3)，能被12整除；
（2）假设当n=k时，又由假设k(k+1)(k+2)(k+3)能被12整除，得出k(k+1)(k+2)(k+3)+4(k+1)(k+2)(k+3)能被12整除。
所以对于任意的n

其实这题大可不必用数学归纳法做

现证明如下

欲证f(1)f(2)......f(n)>(e^(n+1)+2)^(n/2)  两边同时平方

故只需证[f(1)f(2)......f(n)]^2>(e^(n+1)+2)^n  

即证[(e+1/e)(e^2+1/e^2)……(e^n+1/e^n)]^2>(e^(n+1)+2)^n 

其中左边可写成

[(e+1/e)(e^n+1/e^n)(e^2+1/e^2)(e^(n-1)+1/e^(n-1))……(e^n+1/e^n)(e+1/e)]

由柯西不等式得(e^k+1/e^k)(e^(n+1-k)+1/e^(n+1-k))>={e^[(n+1)/2)]+1/e^[(n+1)/2]}^2=e^(n+1)+2+1/e^(n+1)>e^(n+1)+2

那么[(e+1/e)(e^n+1/e^n)(e^2+1/e^2)(e^(n-1)+1/e^(n-1))……(e^n+1/e^n)(e+1/e)]

    >[e^(n+1)+2]^n

即(e+1/e)(e^2+1/e^2)……(e^n+1/e^n)>(e^(n+1)+2)^(n/2)

原命题得证