高等数学 二重积分 求详解。
答案:2 悬赏:70
解决时间 2021-01-07 07:11
- 提问者网友:人生佛魔见
- 2021-01-06 14:38
高等数学 二重积分 求详解。
最佳答案
- 二级知识专家网友:刀戟声无边
- 2021-01-06 14:53
积分域是:
x^2+y^2≤2y
x^2+y^2-2y≤0
x^2+(y-1)^2≤1
积分是在上述圆的范围内进行.
令x=pcos(θ),y=psin(θ),此圆的方程可写为:
[pcos(θ)]^2+[psin(θ)-1]^2=1
p^2-2psin(θ)+1=1
p(p-2sin(θ)=0
解得:p=0和p=2sin(θ)
显然p=2sin(θ)是此圆的极坐标方程.
对任一个给定的p,可求出此圆上对应的θ:
θ=arcsin(p/2)
利用积分函数的对称性(对y轴对称),θ的积分范围可定为[arcsin(θ),pai/2],p的范围是从0到2.将积分结果乘2,即得最后结果.
此处,pai代表圆周率.
x^2+y^2≤2y
x^2+y^2-2y≤0
x^2+(y-1)^2≤1
积分是在上述圆的范围内进行.
令x=pcos(θ),y=psin(θ),此圆的方程可写为:
[pcos(θ)]^2+[psin(θ)-1]^2=1
p^2-2psin(θ)+1=1
p(p-2sin(θ)=0
解得:p=0和p=2sin(θ)
显然p=2sin(θ)是此圆的极坐标方程.
对任一个给定的p,可求出此圆上对应的θ:
θ=arcsin(p/2)
利用积分函数的对称性(对y轴对称),θ的积分范围可定为[arcsin(θ),pai/2],p的范围是从0到2.将积分结果乘2,即得最后结果.
此处,pai代表圆周率.
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- 1楼网友:佘樂
- 2021-01-06 15:30
积分域 D 为圆 r = 2cost 的上半圆。
I = ∫<0, π/2>dt ∫<0, 2cost> r rdr
= ∫<0, π/2>(8/3)(cost)^3dt
= (8/3) ∫<0, π/2>[1 - (sint)^2] dsint
= (8/3) [sint - (sint)^3/3]<0, π/2> = 16/9
I = ∫<0, π/2>dt ∫<0, 2cost> r rdr
= ∫<0, π/2>(8/3)(cost)^3dt
= (8/3) ∫<0, π/2>[1 - (sint)^2] dsint
= (8/3) [sint - (sint)^3/3]<0, π/2> = 16/9
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