三角形abc中，def分别是ab、bc、ca的中点，bf与cd交于点o，设ab向量等于a向量，ac

三角形abc中，def分别是ab、bc、ca的中点，bf与cd交于点o，设ab向量等于a向量，ac向量等于b向量
证明aoe三点在同一直线上，且ao/oe等于bo/of等于co/op等于二2
用a向量b向量表示ao向量

1)向量BO与向量BF共线，故可设BO=xBF,
根据三角形加法法则：向量AO=AB+BO
=a+ xBF=a+ x(AF-AB)
= a+ x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b.

向量CO与向量CD共线，故可设CO=yCD,
根据三角形加法法则：向量AO=AC+CO
=b+ yCD=b+y(AD-AC)
= b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.

所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b.
则1-x= y/2， x/2=1-y，
解得x=2/3,y=2/3.
向量BO=2/3BF，向量CO=2/3CD,
即BO：OF=CO：OD=2。

∴向量AO=(y/2)a+(1-y)b=1/3a+1/3b,
又因向量AE=AB+BE=a+1/2BC= a+1/2(AC-AB)
= a+1/2(b-a)=1/2a+1/2b,
从而向量AO=2/3向量AE,
即向量AO与向量AE共线，所以A、O、E三点共线，
且有AO：OE=2.(2)向量AO=向量(a+b)/3

△abc，d.e.f分别是abbcca的中点，bf与cd交与点o,设向量ab=a,ac=b,证明aoe三点共线 由于向量符号不好写，以ab记ab向量，ab=-ba 设中线ae与bf交于o 设ao=mae=m(ac+ce)=(m/2)(2ac-bc)=(m/2)(2ac+cb) 设bo=nbf=n(bc+ce)=(n/2)(2bc-ac),ob=-bo=(n/2)(ac+2cb) ab=ao+bo=(m+n/2)ac+(m/2+c)bc 又ab=ac+cb 即(m+n/2)ac+(m/2+c)bc=ac+cb (-1+m+n/2)ac+(-1+m/2+c)bc=0 因为ac,bc不共线 所以m+n/2=m/2+n=1,解得m=n=2/3 ao=(2/3)aa1 又设ae与cd交于o1,同理可得ao1=(2/3)ae o与o1重合 所以ae,bf,cd交于一点 三角形三边中线交于一点. 也就是aoe三点共线