设f(x)=alnx+12x+32x+1，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂

设 f(x)=alnx+ 1 2x + 3 2 x+1 ，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．（Ⅰ） 求a的值；（Ⅱ） 求函数f（x）的极值．

（Ⅰ） 求导函数可得 f′(x)=
a
x -
1
2 x 2 +
3
2
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．
∴f′（1）=0，∴ a-
1
2 +
3
2 =0 ，
∴a=-1；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知， f(x)=-lnx+
1
2x +
3
2 x+1 （x＞0）
f′(x)=
-1
x -
1
2 x 2 +
3
2 =
(3x+1)(x-1)
2 x 2
令f′（x）=0，可得x=1或x= -
1
3 （舍去）
∵0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数递减；x＞1时，f′（x）＞0，函数递增
∴x=1时，函数f（x）取得极小值为3．

（ⅰ）解：∵f(x)=alnx+1/2x+3x/2+1,∴f`(x)=a/x-1/2x^2+3/2.曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线垂直于y轴。所以f`(1)=0.即f`(1)=a-1/2+3/2=0.a=-1.

   （ⅱ）解：a=-1,f(x)=-lnx+1/2x+3x/2+1,f`(x)=3/2-(2x+1)/2x^2.

当f`(x)=0时即3/2=(2x+1)/2x^2→(3x+1)(x-1)=0.由x>0,所以x=1时，即f`(1)=0,f(x)有极值f(1)=3.