f(x)在[0,正无穷)上单增且有界，f(x)在（0，正无穷）内有二阶导且二阶导小于0，证x趋近正无穷f ’(x)=0

f(x)在[0,正无穷)上单增且有界，f(x)在（0，正无穷）内有二阶导且二阶导小于0，证x趋近正无穷f ’(x)=0

(ξ)
即有：lim(f(x+1)-f(x))=limf'因为f(x)在[0,正无穷)上单增且有界，故有(ξ→+∞)limf'(ξ)=0
改写符号有：limf(x+1)-limf(x)=a-a=0=limf'(ξ)(x→+∞)
注意到：当x→+∞时，必有ξ→+∞：存在ξ∈(x,x+1)使得f(x+1)-f(x)=f'(ξ)*(x+1-x)
在等式两边同取极限(x→+∞)，故一阶导数存在且连续
根据Lagrange中值定理得，故由单调有界定理得(x→+∞)limf(x)存在
不妨设(x→+∞)limf(x)=a，又因为有二阶导数

设所有f''(x)>0（或<0),由泰勒公式：对任意的x f(x)=f(0)+f'(x)x+f''(ξ)x²/2>f(0)+f'(x)x, (或<f(0)+f'(x)x) 当x趋于无穷时，f(x)趋于无穷，与f(x)在负无穷到正无穷有界矛盾 故存在点x1,x2，f’'(x1)>0 f''(x2)<0, 由于有连续的二阶导数，由根的存在定理，至少存在点x,使：f''(x)=0