已知棱长为1的正四面体OABC,M、N分别为棱OA、BC的中点,G为线段MN的中点,则|OG|→=

已知棱长为1的正四面体OABC,M、N分别为棱OA、BC的中点,G为线段MN的中点,则|OG|→=

∵OA=OB=OC=AB=BC=AC M、N分别为棱OA、BC的中点,G为线段MN的中点
ON=AN=√[1-﹙1/2﹚²]=√3/2
MN=√﹙3/4﹣1/4﹚=√2/2
∴OG=√﹙OM²+MG²﹚=√﹙1/4+2/16﹚=√3/4

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OG＝1/2OM+1/2ON=1/4OA+1/2*1/2(OB+OC)=1/4(OA+OB+OC)

作od⊥平面abc于d,则d是△abc的中心，oa=1，ad=√(1/3),od=√(2/3), 以da,do为u,w轴建立空间直角坐标系d-uvw,则 a(√(1/3),0,0),o(0,0,√(2/3)),b(-1/(2√3)，1/2,0），c(-1/(2√3)，-1/2,0）, 向量op=xoa+yob+zoc =x(1/√3,0，-√(2/3)+y(-1/(2√3)，1/2,-√(2/3))+z(-1/(2√3)，-1/2,-√(2/3)) =((2x-y-z)/(2√3),(y-z)/2,-(y+z)√(2/3)), 向量dp=do+op=((2x-y-z)/(2√3),(y-z)/2,(1-y-z)√(2/3)), 0<=x,y,z<=1,x+y+z>=1, x+y+z=1时,ap=op-oa=(x-1)oa+yob+zoc =y(ob-oa)+z(oc-oa) =yab+zac,0<=y,z<=1,y+z<=1, 此时p在△abc边上及其内部， x=y=z=1时dp=(0，0，-√(2/3)), ∴所求体积v=(1/3)(√3/4)*√(2/3)=√2/12.