已知函数f（x）=lnx+x2-ax．（I）若函数f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；（II）当a=3时

已知函数f（x）=lnx+x2-ax．（I）若函数f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；（II）当a=3时，求出f（x）的极值：（III）在（I）的条件下，若f(x)≤12(3x2+1x2?6x)在x∈（0，1]内恒成立，试确定a的取值范围．

（Ⅰ）函数f（x）=lnx+x2-ax（x＞0），则f′（x）=
1
x +2x-a（x＞0）．
∵函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，
∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即
1
x +2x-a≥0在（0，+∞）上恒成立．
∴
1
x +2x≥a．
∵当x＞0时，
1
x +2x≥2



2 ，当且仅当
1
x =2x，即x=




2
2 时等号成立．
∴a的取值范围是（-∞，2



2 ]；
（Ⅱ）当a=3时，f′(x)＝
(2x?1)(x?1)
x (x＞0)
当0＜x＜
1
2 或x＞1时，f′（x）＞0，
当
1
2 ＜x＜1时，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，
1
2 ）和（1，+∞）上是增函数，在（
1
2 ，1）上是减函数，
∴f（x）极大值=f（
1
2 ）=-
5
4 -ln2，f（x）极小值=f（1）=-2
（III）设g(x)＝f(x)?
1
2 (3x2+
1
x2 ?6x)=lnx?
1
2 x2+(3?a)x?
1
2x2
∴g′（x）

当a=-4时， 函数f(x)=lnx+x^2-4x 求导得：f'=2x+1/x-4 当f'=0时，x=(2+√2)/2 x=(2-√2)/2 (1)0< x<(2-√2)/2时，f'>0，故00< x<=(2-√2)/2单调增 (2)(2-√2)/2<x<(2+√2)/2时，f'<0，故(2-√2)/2<＝x<＝(2+√2)/2单调减 (3)x>(2+√2)/2时，f'>0，故x>＝(2+√2)/2单调增 f(1)=-3  由前面分析知：1<x<(2+√2)/2,时：f(x)<f(1)<0 f(4)=ln4>0 ，故在（1,4）有一根，且在所给区间也只有一根。