已知f(x)是周期为5 的连续函数，它在x=0的某个领域内满足关系式：f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x),且f(x)在x

已知f(x)是周期为5 的连续函数，它在x=0的某个领域内满足关系式：f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x),且f(x)在x

解：因为
f(x)是连续函数
所以
x=0时（代入关系式得）f(1)-3f(1)=0
f(1)=0
又f(x)在x=1处可导，对关系式求导得：
cosx*f'(1+sinx)+3cosxf'(1-sinx)=8
将x=0代入上式可得
f'(1)=2
因为f(x)周期为5
所以f(6)=f(1)=0
f'(6)=f'(1)=2
利用点斜式可得
y=2(x-6)
即 y-2x+12=0

f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+α(x)中由于f(x)是连续函数， 因此当x→0时有f(1+sinx)=f(1-sinx)=f(1) 有 f(1) =0 由f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+α(x) 两边同时除以sinx 在x→0时有lim (f(1+sinx)-3f(1-sinx))/sinx=lim 8x/sinx x→0 x/sinx=1 则 lim (f(1+sinx)-3f(1-sinx))/sinx=8 lim (f(1+sinx)-f(1))/sinx-3(f(1-sinx)-f(1))/sinx=8 由于f(1)的导数存在，则f'(1)=-2 f(x)是周期为5的连续函数，则f(1)=f(1+5)=f(6)，则f(6)=0 f'(1)=f'(6)=-2 则在y=f(x)在点（6，f（6））处的切线方程为y=-2x+12