定积分的应用旋转体的侧面积
答案:2 悬赏:30
解决时间 2021-02-16 09:24
- 提问者网友:依靠
- 2021-02-16 02:17
x2/a2+y2/b2=1 (a>b) 求该椭圆绕X轴旋转一周所成的旋转体的侧面积 求答案。应该是换元法吧。。稍微讲些步骤即可
最佳答案
- 二级知识专家网友:没感情的陌生人
- 2021-02-16 02:25
显然我们仅求x轴正半轴(含0点)的侧面积再乘以2即可。 注意到一个y=f(x)在区间(a,b)绕x轴旋转一周侧面积为: ∫sqrt(1+y'^2)*2π*y*dx,其中x从a到b(这个高数教材上有,可以自己看, 要不再发信息问我,下面的也一样,也是教材上的),这里sqrt表示根号,y'表示y的一阶导数。 下面看该题: 正如你所说,先做换元,设x=a*sint,y=b*cost,由于讨论x非负半轴,故取t∈【0,π/2】。故由参数求导方法y'=dy/dx=(dy/dt)*(dt/dx)=-b*tant/a, 再由还原积分法dx=a*cost*dt 得非负半轴侧面积: ∫sqrt(1+(-b*tant/a)^2)*2π*b*cost*(a*cost)dt,这里t从0积到π/2; 将外面的一个cost乘进根号中,在注意cost*dt=d(sint),当然做此变换时积分上下限变为【0,1】,则上式化为: 2*π*b∫sqrt(a^2*(cost)^2+b^2*(sint)^2)*d(sint),积分变量【0,1】 再将cost的平方换为1-sint^2,则原积分式就是如下同等形式(即将sint换为下面的w): 2πb*∫sqrt(a^2-(a^2-b^2)*w^2)*dw,这里w∈【0,1】; 显然这个是sqrt(a^2-x^2)形式的积分,很容易算(高数书上附录积分表都有,也可以用换元积分法,如果没找着再问我吧)。 最后侧面积(别忘了上面积分结果还要乘2): 2πb*sqrt(a^2-b^2)*(A^2*arcsin(1/A)+sqrt(A^2-1)), 这里A=sqrt(a/sqrt(a^2-b^2)) 算的比较仓促,不知道对不对,呵呵! 另外对于侧面积还有几种积分式: 对于曲线参数方程y=A(t),x=B(t),其中t属于[a,b],则其绕x轴旋转一周侧面积为: ∫2π*A(t)*sqrt(A'(t)^2+B'(t)^2)dt,其中t∈[a,b], 对于极坐标系中的曲线r=r(t),,其中t为极角,r为向径,t属于[a,b],绕极轴 旋转一周侧面积为: ∫2π*r(t)*sint*sqrt( r(t)^2+r'(t)^2)dt,其中t∈[a,b],
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- 1楼网友:陪伴是最长情的告白
- 2021-02-16 02:56
平方用错了!
用元素法近似的时候,应该是近似为两个圆柱体的体积的差,两个圆柱体的半径分别是2,y^(1/3),高是dy,所以
dv=π[2^2-(y^(1/3))^2]dy=π[4-y^(2/3))]dy
用x作积分变量时,x∈[0,2],直接套用俯缉碘垦鄢旧碉驯冬沫公式(如果你使用同济版高数的教材的话,课后习题有个公式),dv=2πxydx,比用y作积分变量简单
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