以知双曲线中心在原点,焦点在X轴上,且过P(3,2)

以知双曲线中心在原点,焦点在X轴上,且过P(3,2)
过左焦点F做斜率-3/4的直线,分别与两准线交与M,N.两点,O为原点.若0M⊥0N
求曲线方程?

F(-c,0)
直线y=-3/4(x+c)
准线x=a^2/c,x=-a^2/c
所以交点是M(a^2/c,-3a^2/4c-3/4c),N(-a^2/c,3a^2/4c-3/4c)
0M⊥0N
斜率乘积=-1
[(-3a^2/4c-3/4c)/(a^2/c)]*[(3a^2/4c-3/4c)/(-a^2/c)]=-1
9/(16c^2)-9a^4/(16c^2)=a^4/c^2
9/16-9a^4/16=a^4
25a^4=9
a^2=3/5

x^2/(3/5)-y^2/b^2=1
(3,2)
所以b^2=2/7
x^2/(3/5)-y^2/(2/7)=1

设双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1,则第一个方程9/a^2-4/b^2=1很容易得到，又由于以mn为直径的圆过原点，则那条直线与y轴的交点d（即mn的中点）为圆心，则|od|=|md|=|dn|，则由直线方程：-3/4(x+c)=y,及准线方程知3/4c=(1+(3/4)^2)^(1/2)a^2/c，则5a^2=3c^2,则加上第一个方程有a^2=3，b^2=2，则双曲线方程为x^2/3-y^2/2=1