设定义在(0,+∞)上的函数f(x)=ax+1/ax+b(a>0).求f(x)的最小值;

可以直接用不等式来做
a>0 x>0,所以ax>0
f(x)=ax+1/ax+b>=2√ax*1/ax +b=2+b
最小值取得当且仅当ax=1/ax,也就是x=1/a时取得
最小值是2+b
也可以用求导做

2√ax*1/ax +b怎么来的？

（1）f（x）=ax+1ax-1af（x）在（0，1a）上是单调递减的，在（1a，+∞）上单调递增的；理由如下：设x1，x2是（0，1a）上的任意两个值，且x1＜x2，则△x=x2-x1＞0，△y=f（x2）-f（x1）=ax2+1ax2-ax1-1ax1=a（x2-x1）+1ax2-1ax1=a（x2-x1）+x1?x2ax1x2=（x2-x1）（a-1ax1x2）=（x2-x1）?a2x1x2?1ax1x2∵0＜x1＜1a，0＜x2＜1a∴0＜x1x2＜1a2∴0＜ax1x2＜1，ax1x2-1＜0 又△x=x2-x1＞0，ax1x2＞0，∴△y=f（x2）-f（x1）＜0∴f（x）在（0，1a）上是单调递减，同理可证f（x）在（1a，+∞）上单调递增； （2）当0＜1a≤1即a≥1时，f（x）在（0，1]上单调递减，∴fmin（x）=f（1）=a；当1a＞1即0＜a＜1时，f（x）在（0，1a]单调递减，在[1a，1]单调递增，∴fmin（x）=f（1a）=2-1a∴g（a）=a，a≥12?1a，0＜a＜1．

有几种方法，第一是求导，但麻烦。 第二分离参数，也麻烦。 如下比较简便的方法。 你观察下这个函数的式子。可以用均值不等式求。 令g(x)=ax+1/ax 因为a>0 x>0 ax>0 1/ax>0 . 用均值不等式 所以g（x)最小值是 ax+1/ax 大于等于2 当 ax=1/ax 等号成立。 所以f(x)最小值=2+b 。