已知a,b,c都是小于1的正数,求证: (1-a)b, (1-b)c, (1-c)a 至少有一个不

答案:2 悬赏:10

解决时间 2021-04-07 13:58

提问者网友：逐野
2021-04-06 17:02

已知a,b,c都是小于1的正数,求证: (1-a)b, (1-b)c, (1-c)a 至少有一个不大于0.25

最佳答案

二级知识专家网友：何以畏孤独
2021-04-06 18:33

假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4
因01/2,√((1-b)c)>1/2,√((1-c)a)>1/2
则
√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a) > 3/2 (*)
而由基本不等式：a,b∈R+, a+b≥2√(ab), 有
√((1-a)b)≤(1-a+b)/2，
√((1-b)c)≤(1-b+c)/2，
√((1-c)a)≤(1-c+a)/2
所以 √((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)≤3/2
这与已知的：√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a) > 3/2 (*)矛盾
所以假设不成立,
故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个小于或等于1/4

全部回答

1楼网友：一身浪痞味
2021-04-06 20:06

假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于25％因为01/2, √((1-b)c)>1/2, √((1-c)a)>1/2 即√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)>3/2(*) 又因为√((1-a)b)小于等于(1-a+b)/2, √((1-b)c)小于等于(1-b+c)/2, √((1-c)a)小于等于(1-c+a)/2, 所以√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)小于等于3/2, 这与√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)>3/2(*)矛盾, 假设不成立,故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个小于或等于25％ (*)——提示 √——根号

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