已知函数f（x）=x平方+aln（x+1），若对于任意x∈［1，2］，不等式f(x)≤x恒成立，求实数a的取值范围？

答案:3 悬赏:80

解决时间 2021-02-20 02:24

提问者网友：騷女、無惡不作
2021-02-19 02:08

请详细解析，谢谢

最佳答案

二级知识专家网友：青灯壁纸妹
2021-02-19 03:31

答：

1<=x<=2，f(x)=x^2+aln(x+1)<=x恒成立
因为：2<=x+1<=3，ln(x+1)>0
所以：
a<=(x-x^2)/ln(x+1)
因为：在区间[1,2]上，x-x^2和1/ln(x+1)都是单调递减函数
所以：(x-x^2)/ln(x+1)在区间[1,2]上是单调递减函数
所以：x=2时，(x-x^2)/ln(x+1)>=(2-4)/ln(2+1)=-2/ln3
所以：a<=-2/ln3

全部回答

1楼网友：滚出爷的世界
2021-02-19 05:38

答： 1<=x<=2，f(x)=x^2+aln(x+1)<=x恒成立因为：2<=x+1<=3，ln(x+1)>0 所以：a<=(x-x^2)/ln(x+1) 因为：在区间[1,2]上，x-x^2和1/ln(x+1)都是单调递减函数所以：(x-x^2)/ln(x+1)在区间[1,2]上是单调递减函数所以：x=2时，(x-x^2)/ln(x+1)>=(2-4)/ln(2+1)=-2/ln3 所以：a<=-2/ln3

2楼网友：情战辞言
2021-02-19 05:10

因为，不等式f(x)≤x恒成立即，x^2+aln(x+1)<=x 所以，(x-1/2)^2-1/4+aln(x+1)<=0 当a=0时，1<=x<=2，则0=<(x-1/2)^2-1/4<=2，所以，a=0不符合。当a>0时，1<=x<=2，则00不符合。当a<0时，，(x-1/2)^2-1/4<=-aln(x+1) 因为，-aln2=<-aln(x+1)<=-aln3，（1<=x<=2）所以，-aln3>=2，即，a<=-2/ln3 实数a的取值范围(-oo,-2/ln3]

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