如何证明确界定理?
答案:1 悬赏:30
解决时间 2021-03-25 12:07
- 提问者网友:箛茗
- 2021-03-24 15:16
如何证明确界定理?
最佳答案
- 二级知识专家网友:英雄的欲望
- 2021-03-24 16:27
用单调有界定理证明确界定理证明:已知实数集A非空。存在a属于A,不妨设a不是A的上界,另外,知存在b是A的上界,记a1= a,b1=b ,用a1 ,b1 的中点(a1+b1)/2 二等分[a1 ,b1 ],如果(a1+b1)/2属于B ,则取a2 =a1 ,b2 =(a1+b1)/2 ;如果(a1+b1)/2属于A ,则取a2 =(a1+b1)/2 ,b2 =b1 ;……如此继续下去,便得两串数列 。其中{an}属于A 单调上升有上界(例如b1 ),{bn} 单调下降有下界(例如a1 )并且bn -an= (b1-a1)/2 (n-->无穷) 。由单调有界定理,知存在 r,使liman = r (n-->无穷)。由 lim(bn-an )=0 有 liman+(bn-an )= r (n-->无穷) 因为{bn}是A的上界,所以对任意x属于A ,有x<=bn (n=1,2,……),令n-->无穷 ,x<=lim(n-->无穷)bn = r 所以 r是A的上界。而 任意c>0由lim(n-->无穷)an = r知任意c>0知存在N,当n>N 有r-c<an从而 存在X属于A ,使r-c<an<X 所以 r=supA。同理可证非空有下界数集有下确界。定理证完
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