用数学归纳法证明:a1^2+a2^2+a3^2+``````+an^2>=1/n

答案:2 悬赏:0

解决时间 2021-02-20 09:35

提问者网友：月葬花瑰
2021-02-20 04:42

a1+a2+a3+``````+an=1

最佳答案

二级知识专家网友：狙击你的心
2021-02-20 05:49

①当n=1时，左边=1，右边=1
故此时原命题成立
②当n≥2时，假设原命题仍成立
令n=k得a1^2+a2^2+a3^2+``````+ak^2≥1/k
则当n=k+1时，a1^2+a2^2+a3^2+``````+ak^2+a^2(k+1)≥1/k+a^2(k+1)≥1/(k+1)
故当n为任意正整数时，原命题均成立。

希望能够帮到你，呵呵……

全部回答

1楼网友：茫然不知崩溃
2021-02-20 06:32

解:(1).当n＝1时,左边＝a1^2,右边＝a1^2,命题成立. (2).假设当n＝k时命题成立，即 :(a1+a2+…+ak)^2=a1^2+a2^2+…ak^2+2[a1a2+a1a3+…a(k-1)ak]。…………………① 那么．当n＝k＋1时，〔(a1＋a2＋…＋ak)＋a(k+1)〕^2 ＝(a1＋a2＋…＋ak)＾2＋a(k+1)^2＋2a(k+1)(a1＋a2＋…＋ak)…………………② 把①式代入②式得．〔(a1＋a2＋…＋ak)＋a(k+1)〕^2 ＝a1^2+a2^2+…ak^2+2[a1a2+a1a3+…a(k-1)ak]＋a(k+1)^2＋2a(k+1)(a1＋a2＋…＋ak) ＝〔a1^2+a2^2+…ak^2＋a(n+1)^2]+2[a1a2+a1a3+…a(k-1)ak+aka(k+1)] 所以，当n＝k+1时命题也成立．综合上述可知，(a1+a2+…+an)^2=a1^2+a2^2+…an^2+2(a1a2+a1a3+…an-1an)对任意非零自然数n都成立．

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