已知抛物线经过A(0,4)B(1,4)C(3,2)

已知抛物线经过A(0,4)B(1,4)C(3,2)
1.求抛物线解析式
2.在X轴上求点E使三角形BCE是以BC为底的等腰三角形
在坐标轴上求点E使三角形是以BCE为顶点的等腰三角形
3.坐标轴上是否存在点P，使P,B,C为顶点的三角形为直角三角形。

麻烦详细些。

1.设ax^2+bx+c=0
因抛物线经过A(0,4)B(1,4)C(3,2) 所以-b/2a=1/2， -b=a
所以-bx^2+bx+c=0 把A代入，得c=4
把C代入，得b=1/3，a=-1/3
∴-1/3x^2+1/3x+4=0

2.（1）∵等腰△BCE以BC为底 ∴设BC中点为D，可知D坐标为（2,3）
k（BC）=（2-4）/（3-1）=-1
∵ED⊥BC ∴k（ED）=1
ED：y-3=x-2
y=x+1
当y=0时，x=-1
∴E（-1,0）

（2）等腰△BCE以以BCE为顶点，E位于坐标轴上
∴有两种情况，一个是在X轴上，一个是在Y轴上.
①设E（x，0）BC=EC
得（3-1）^2+(2-4)^2=(3-x)^2+(2-0)^2
x=1
②设E（0，y）BC=EC
由（1）可知，直线y=x+1垂直平分BC且与y轴交于（0,1）

综上所述，在坐标轴上的使三角形是以BCE为顶点的等腰三角形的E点有三个：（-1,0）（1,0）（0,1）

3.画个图，可知P只能在X轴上，两种情况，PBC为直角，PCB为直角
设P（x，0）
①∠PBC为直角时,PB⊥BC
∴【4/（1-x）】*【（2-4）/（3-1）】=-1
x=-3
②PCB为直角时，PC⊥BC
∴【2/（3-x）】*【（2-4）/（3-1）】=-1
x=1

∴综上所述，P点有两个：（-3,0）（1,0）

第一问，设ax^2+bx+c=0 把三个点带入，a,b,c就算出来了. 方程也就知道了. 第二问的第一个，设E（x,0） EB=EC，用距离公式列个方程就可以了. 第二问的第二个，两种情况，一个是在X轴上，一个是在Y轴上. 分别设（x,0）(0,y) BC=EC，解出来. 第三问，画个图，可知P只能在X轴上，两种情况，PBC为指教，PCB为直角，列方程算出来即可.

作两条平行弦，连接其中点，它一定平行于抛物线对称轴，作连线的垂线，交抛物线于两点，找到两点连线的中点，再找一个这样的中点，它们连线过顶点，以顶点为直角三角形直角顶点作直角三角形，其斜边与对称轴必交于焦点 参考资料： <a href="http://wenwen.soso.com/z/urlalertpage.e?sp=shttp%3a%2f%2fsq.k12.com.cn%2fdiscuz%2fthread-64029-1-1.html" target="_blank">http://sq.k12.com.cn/discuz/thread-64029-1-1.html</a> 检举 提问人的追问 2010-08-28 12:57 给张图，看看，好得话给加分检举 回答人的补充 2010-08-28 20:07 前面主要是找顶点和对称轴，即任意作两条平行弦，连接其中点，它一定平行于抛物线对称轴，作连线的垂线，交抛物线于两点，找到两点连线的中点，再找一个这样的中点，它们连线过顶点。后面说的不明确且有错误，应该是过抛物线的顶点任作两条互相垂直的弦oa,ob,则直线ab恒过定点v。焦点为f,of=ov/4.因此作出定点v之后，四等分ov就找到了焦点f。如下图： 检举 回答人的补充 2010-08-28 22:20 of=ov/4是可以证明的。