|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 求详细证明过程
答案:3 悬赏:40
解决时间 2021-02-15 07:43
- 提问者网友:他的思颖
- 2021-02-14 08:17
|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 求详细证明过程
最佳答案
- 二级知识专家网友:有钳、任性
- 2021-02-14 09:17
画出数轴,在数轴上任意标注两点a和-b
|a|-|b|表示a和-b到原点的距离差
|a+b|=|a-(-b)|表示a到-b的距离
|a|+|b|=|a-0|+|0-(-b)|表示a和-b到原点的距离之和
∴|a|-|b|≤|a+b| (|a|<|b|时恒成立;|a|>|b|时,a和-b同侧,|a|-|b|=|a+b| ,异侧则,|a|-|b|<|a+b| )
|a+b|≤|a|+|b| (a和-b同侧,|a+b|<|a|+|b|,异侧则,|a+b|=|a|+|b|)
∴|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|
|a|-|b|表示a和-b到原点的距离差
|a+b|=|a-(-b)|表示a到-b的距离
|a|+|b|=|a-0|+|0-(-b)|表示a和-b到原点的距离之和
∴|a|-|b|≤|a+b| (|a|<|b|时恒成立;|a|>|b|时,a和-b同侧,|a|-|b|=|a+b| ,异侧则,|a|-|b|<|a+b| )
|a+b|≤|a|+|b| (a和-b同侧,|a+b|<|a|+|b|,异侧则,|a+b|=|a|+|b|)
∴|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|
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- 1楼网友:何以畏孤独
- 2021-02-14 10:19
当a,b<0时,IaI=-a, IbI=-b, 那么:
|a|-|b|=-a-(-b)=b-a,
Ia+bI=-(a+b),
|a|+|b|=-a+(-b)=-(a+b).而-(a+b)>b-a,故 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 成立。
当a,b=0时,IaI=0, IbI=0, 那么: |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|=0成立。
当a,b>0时,IaI=0, IbI=0, 那么:
|a|-|b|=a-b,
Ia+bI=a+b,
|a|+|b|=a+b.而a+b>a-b, 故 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 成立。
综上所述:|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 成立。
故: |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|
- 2楼网友:偏爱自由
- 2021-02-14 09:49
|(a-b)(a+b)
=a²+ab-ba-b²
=a²-b²
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