证明根号3是无理数
答案:4 悬赏:10
解决时间 2021-02-26 21:39
- 提问者网友:椧運幽默
- 2021-02-26 01:03
证明根号3是无理数
最佳答案
- 二级知识专家网友:孤老序
- 2021-02-26 01:31
反证法:假设√3是有理数。
1^2< (√3)^2<2^2
1<√3<2,所以√3不是整数,
设√3=p/q ,p和q互质
把 √3=p/q 两边平方
3=(p^2)/(q^2)
3(q^2)=p^2
3q^2是3的倍数数,p 必定3的倍数,设p=3k
3(q^2)=9(k^2)
q^2=3k^2
同理q也是3的倍数数,
这与前面假设p,q互质矛盾。
因此√3是无理数。
1^2< (√3)^2<2^2
1<√3<2,所以√3不是整数,
设√3=p/q ,p和q互质
把 √3=p/q 两边平方
3=(p^2)/(q^2)
3(q^2)=p^2
3q^2是3的倍数数,p 必定3的倍数,设p=3k
3(q^2)=9(k^2)
q^2=3k^2
同理q也是3的倍数数,
这与前面假设p,q互质矛盾。
因此√3是无理数。
全部回答
- 1楼网友:鱼忧
- 2021-02-26 04:02
楼上的那个人的证明貌似有问题将3换成4得到的结论是根号4也是无理数
- 2楼网友:西风乍起
- 2021-02-26 02:45
反证法:
假设结论不成立(接下来用a表示根号3,因为不好打),即a为有理数,
那么存在正整数p和q(p,q无公因子,或称互质),使得a=p/q(有理数的性质),两边平方,得到
p^2=3*q^2,
接下来分析,(具体过程可以有多种,但是都是从公因子3入手,引出矛盾)
因为等号右边有因子3,且3为质数,因此p一定是3的倍数,设p=3r,代入等式并约分得到,
3*r^2=q^2
同理,q也一定是3的倍数,于是p、q均为3的倍数,与p、q互质矛盾。
故有反证法的原理,知a为无理数
假设结论不成立(接下来用a表示根号3,因为不好打),即a为有理数,
那么存在正整数p和q(p,q无公因子,或称互质),使得a=p/q(有理数的性质),两边平方,得到
p^2=3*q^2,
接下来分析,(具体过程可以有多种,但是都是从公因子3入手,引出矛盾)
因为等号右边有因子3,且3为质数,因此p一定是3的倍数,设p=3r,代入等式并约分得到,
3*r^2=q^2
同理,q也一定是3的倍数,于是p、q均为3的倍数,与p、q互质矛盾。
故有反证法的原理,知a为无理数
- 3楼网友:轮獄道
- 2021-02-26 02:01
证明:假设√3不是无理数,而是有理数。
既然√3是有理数,它必然可以写成两个整数之比的形式:
√3=p/q
又由于p和q没有公因数可以约去,所以可以认为p/q 为既约分数,即最简分数形式。
把 √3=p/q 两边平方
得 3=(p^2)/(q^2)
即3(q^2)=p^2
由于3q^2是3的倍数数,p 必定3的倍数,设p=3m
由 23(q^2)=9(m^2)
得 q^2=3m^2
同理q必然也为偶数,设q=3n
既然p和q都是3的倍数,他们必定有公因数3,这与前面假设p/q是既约分数矛盾。这个矛盾是有假设√3是有理数引起的。因此√3是无理数。
既然√3是有理数,它必然可以写成两个整数之比的形式:
√3=p/q
又由于p和q没有公因数可以约去,所以可以认为p/q 为既约分数,即最简分数形式。
把 √3=p/q 两边平方
得 3=(p^2)/(q^2)
即3(q^2)=p^2
由于3q^2是3的倍数数,p 必定3的倍数,设p=3m
由 23(q^2)=9(m^2)
得 q^2=3m^2
同理q必然也为偶数,设q=3n
既然p和q都是3的倍数,他们必定有公因数3,这与前面假设p/q是既约分数矛盾。这个矛盾是有假设√3是有理数引起的。因此√3是无理数。
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