求布丰投针实验的微积分证明,要过程,谢谢!
答案:2 悬赏:0
解决时间 2021-02-26 14:53
- 提问者网友:空白
- 2021-02-26 07:24
求布丰投针实验的微积分证明,要过程,谢谢!
最佳答案
- 二级知识专家网友:末路丶一枝花
- 2021-02-26 08:20
平面上画着一些平行线,它们之间的距离都等于a,向此平面任投一长度为l(l小于a),试求此针与任一平行线相交的概率。
以x表示针的中点到最近的一条平行线的距离,β表示针与平行线的交角。
显然有0<=x<=a/2,0<=β<=Pi。用边长为a/2及Pi的长方形表示样本空间。为使针与平行线相交,必须x<=l*sinβ/2, 满足这个关系的区域面积是从0到Pi的l*sinβ对β的积分,可计算出这个概率的值是(2l)/(Pi*a)。
为什么为使针与平行线相交,必须x<=l*sinβ/2 (这里是l*(sinβ/2)还是(l*sinβ)/2
以x表示针的中点到最近的一条平行线的距离,β表示针与平行线的交角。
显然有0<=x<=a/2,0<=β<=Pi。用边长为a/2及Pi的长方形表示样本空间。为使针与平行线相交,必须x<=l*sinβ/2, 满足这个关系的区域面积是从0到Pi的l*sinβ对β的积分,可计算出这个概率的值是(2l)/(Pi*a)。
为什么为使针与平行线相交,必须x<=l*sinβ/2 (这里是l*(sinβ/2)还是(l*sinβ)/2
全部回答
- 1楼网友:迷人小乖乖
- 2021-02-26 08:29
下面就是一个简单而巧妙的证明。找一根铁丝弯成一个圆圈,使其直径恰恰等于平行线间的距离d。可以想象得到,对于这样的圆圈来说,不管怎么扔下,都将和平行线有两个交点。因此,如果圆圈扔下的次数为n次,那么相交的交点总数必为2n。 现在设想把圆圈拉直,变成一条长为πd的铁丝。显然,这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些,可能有4个交点,3个交点,2个交点,1个交点,甚至于都不相交。 由于圆圈和直线的长度同为πd,根据机会均等的原理,当它们投掷次数较多,且相等时,两者与平行线组交点的总数期望也是一样的。这就是说,当长为πd的铁丝扔下n次时,与平行线相交的交点总数应大致为2n。现在转而讨论铁丝长为l的情形。当投掷次数n增大的时候,这种铁丝跟平行线相交的交点总数m应当与长度l成正比,因而有:m=kl,式中k是比例系数。为了求出k来,只需注意到,对于l=πd的特殊情形,有m=2n。于是求得k=(2n)/(πd)。代入前式就有:m≈(2ln)/(πd)从而π≈(2ln)/(dm)
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