级数[无穷，n=1] n(n+1)x^n

答案:2 悬赏:70

解决时间 2021-04-22 21:06

提问者网友：刀枪不入
2021-04-22 03:50

求级数的收敛域中，并求和函数。（请给出详细过程）

最佳答案

二级知识专家网友：都不是誰的誰
2021-04-22 04:27

lim(n+1)(n+2)/n(n+1)=1，收敛半径为1
当x=1时，limn(n+1)=无穷大，级数发散
当x=-1时，级数n(n+1)(-1)^n发散
所以收敛域为(-1,1)
设和函数S(x)=∑n(n+1)x^n
则∫S(x)dx=∑n∫(n+1)x^ndx=∑nx^(n+1)=∑(n+2)x^(n+1)-2∑x^(n+1)
=[∑∫(n+2)x^(n+1)dx]'-2x^2/(1-x)
=[∑x^(n+2)]'-2x^2/(1-x)
=[x^3/(1-x)]'-2x^2/(1-x)
=(3x^2-2x^3)/(1-x)^2-2x^2/(1-x)
=x^2/(1-x)^2
s(x)=[x^2/(1-x)^2]'=2x/(1-x)^3,-1

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1楼网友：留下所有热言
2021-04-22 04:47

收敛区间我就不求了，你自己算下收敛区间为(-1，1) 设s(x)=∑ nx^n/(n+1) 两边同乘x xs(x)=∑ nx^(n+1)/(n+1) 令f(x)=xs(x)=∑ nx^(n+1)/(n+1) 两边同时求导 f'(x)=∑ nx^n 两边同除x f'(x)/x=∑ nx^(n-1) 令g(x)=f'(x)/x=∑ nx^(n-1) 两边同时积分 ∫g(x)dx=∑ x^n=x+x²+x³+…… 无穷等比级数 =x/(1-x) 所以g(x)=[x/(1-x)]'=(1-x+x)/(1-x)²=1/(1-x)² f'(x)=x/(1-x)²=x/(x-1)²=(x-1+1)/(x-1)²=1/(x-1) +1/(x-1)² 积分得 f(x)=ln(1-x) - 1/(x-1) +c 因为f(0)=0s(0)=0 得c=-1 则f(x)=ln(1-x) + 1/(1-x) -1=ln(1-x) + x/(1-x) 所以s(x)=(1/x) [ln(1-x) + x/(1-x)]

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