已知圆O的半径为R，若它的内接三角形ABC中，2R*(sin^2A-sin^2C)=(√2a-b）×sinB，求C的大小，△面积最大
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解决时间 2021-04-09 02:11
- 提问者网友：我喜歡係
- 2021-04-08 07:13
已知圆O的半径为R，若它的内接三角形ABC中，2R*(sin^2A-sin^2C)=(√2a-b）×sinB，求C的大小，△面积最大
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- 2021-04-08 07:38
①
∵ 2R(sin²A-sin²C)=（√2a-b)sinB,
又∵a/sinA=2R,b/sinB=2R,c/sinC=2R,
∴原式变成 a×sinA-c×sinC=√2a×sinB-b×sinB
∴a×sinA-c×sinC+b×sinB=√2a×sinB
式子两边同乘以2R，则原式变为
a²+b²-c²=√2ab
∴c²=a²+b²-√2ab
又∵c²=a²+b²-2ab×cosC,
∴-√2ab=-2ab×cosC
∴-√2=-2×cosC
∴cosC=√2/2
∴C=45°
②
S△ABC=1/2ab×sinC
∴若求面积最大值，即为求ab最大值
在圆中最长径为直径2R，所以ab中必有一边为2R，
以圆的直径为一边的三角形是RT△，
总之，你可以解这个△了，很简单，不必在写，
最后求得面积为 R²。
写这些式子累死了，第一次这么详细的写步骤，
谢分
∵ 2R(sin²A-sin²C)=（√2a-b)sinB,
又∵a/sinA=2R,b/sinB=2R,c/sinC=2R,
∴原式变成 a×sinA-c×sinC=√2a×sinB-b×sinB
∴a×sinA-c×sinC+b×sinB=√2a×sinB
式子两边同乘以2R，则原式变为
a²+b²-c²=√2ab
∴c²=a²+b²-√2ab
又∵c²=a²+b²-2ab×cosC,
∴-√2ab=-2ab×cosC
∴-√2=-2×cosC
∴cosC=√2/2
∴C=45°
②
S△ABC=1/2ab×sinC
∴若求面积最大值，即为求ab最大值
在圆中最长径为直径2R，所以ab中必有一边为2R，
以圆的直径为一边的三角形是RT△，
总之，你可以解这个△了，很简单，不必在写，
最后求得面积为 R²。
写这些式子累死了，第一次这么详细的写步骤，
谢分
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- 1楼网友：甜野猫
- 2021-04-08 08:32
由正弦定理可知，a=2rsina，b=2rsinb，c=2rsinc
于是，2r(sin^2a-sin^2c)=(√2a-b)sinb可化为：
a²-c²=﹙√2a-b）b
即：a²-c²+b²=√2ab，
由余弦定理可得：
cosc=(a²+b²-c²)÷2ab=√2/2,因为c为三角形一个内角，所以c=π/4.
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