xy'+y=3 求在X=1时微分方程的特解

xy'+y=3 求在X=1时微分方程的特解

xy'+y=3
(xy)'=3
通解xy=3x+C

x 条件没写全啊;xdx）(∫3/x(3x+c) =3+c/x*y=3/x*e^（∫1/y'xdx）dx+C) =1/+1/x y=e^（-∫1/

假设y=a*x^b,则y'=a*b*x^(b-1) 于是x*y'=a*b*x^b 因此，x*y'+y=a*b*x^b+a*x^b=x^b*(a*b+a)=3 当x=1时，ab+a=3 于是当a=1时，b=2 即y=x^2

解法一：∵xy'+y=xe^x ==>(xy)'=xe^x ∴原方程的通解是xy=(x-1)e^x+c (c是积分常数) ∵当x=1时，y=1 ∴代入通解，得c=1 故所求解是xy=(x-1)e^x+1； 解法二：令x=e^t，则t=lnx，xy'=dy/dt 代入原方程，得dy/dt+y=e^t*e^(e^t)..........(1) ∵方程(1)是一阶线性微分方程 则由公式法求得方程(1)的通解是 y=(1-1/e^t)e^(e^t)+c/e^t (c是积分常数) ==>ye^t=(e^t-1)e^(e^t)+c ∴原方程的通解是xy=(x-1)e^x+c ∵当x=1时，y=1 ∴代入原方程的通解，得c=1 故所求解是xy=(x-1)e^x+1； 解法三：∵由xy'+y=0 ==>dy/y=-dx/x ==>ln│y│=-ln│x│+ln│c│ (c是积分常数) ==>y=c/x ∴方程xy'+y=0的通解是y=c/x 于是，根据常数变易法，设原方程的解为y=c(x)/x (c(x)是关于x的函数) 代入原方程，得x(c'(x)/x-c(x)/x²)+c(x)/x=xe^x ==>c'(x)=xe^x ==>c(x)=(x-1)e^x+c (c是积分常数) 则y=c(x)/x=[(x-1)e^x+c]/x ==>xy=(x-1)e^x+c 即原方程的通解是xy=(x-1)e^x+c ∵当x=1时，y=1 ∴代入原方程的通解，得c=1 故所求解是xy=(x-1)e^x+1。