已知函数f（x）=13x3+x2+（2a-1）x+a2-a+1若函数f（x）在（1，3]上存在唯一的极值点．则实数a的取值范围

已知函数f（x）=13x3+x2+（2a-1）x+a2-a+1若函数f（x）在（1，3]上存在唯一的极值点．则实数a的取值范围为______．

∵f（x）=
1
3 x3+x2+（2a-1）x+a2-a+1，
∴f′（x）=x2+2x+2a-1，
∵函数f（x）在（1，3]上存在唯一的极值点，
∴f′（1）?f′（3）＜0或f′（3）=0，
∴（1+2+2a-1）（9+6+2a-1）＜0或9+6+2a-1=0，
即有（a+1）（a+7）＜0或a=-7
解得-7≤a＜-1．
故答案为：[-7，-1）．

(1) 在[1，2]上， f(x)=ax^2—|x+1|+2a=ax^2-x+(2a-1)=a(x-1/2a)^2+(2a-1-1/4a) 所以， 1/2a∈[1,2],a∈[1/4,1/2]时，f(x)最小值＝2a-1-1/4a 1/2a>2,01/2时，f(x)最小值＝f(1)=3a-2 a<0时，f(x)最小值＝f(2)=6a-3 a=0时，f(x)最小值＝f(2)=-3 即： a<1/4时，f(x)最小值＝f(2)=6a-3 a∈[1/4,1/2]时，f(x)最小值＝2a-1-1/4a a>1/2时，f(x)最小值＝f(1)=3a-2 2) a={x属于r/f（x）＜0}，若a=空集 等价于无论x取何值,f（x）恒大于等于0 f(x)=ax^2—|x+1|+2a≥0 a(x^2+2）≥|x+1| a≥|x+1|/(x^2+2) 令g（x）=|x+1|/(x^2+2) 这样就转化成最值问题了 恒明显f恒大于等于0 因此只要讨论x>-1即可 因此只要求出g的最大值就可以了 方法1： 判别式法 y=(x+1)/(x^2+2) y>=0 x^2*y-x+2y-1=0 △>=0 解不等式得到 ：0<=y<=（根号3+1）/4 方法2： 通过求导数， g'=(-x^2-2x+2)/(x^2+2)^2 当 -1=根号3-1为减函数 所以g的最大值为g(根号3-1） 所以 a>=g（根号3-1）=（根号3+1）/4 完毕！