计算∫∫xydydz+z^2dzdx+y^2dxdy其中∑为半球面z=√(4-x^2-y^2)的上侧
答案:1 悬赏:10
解决时间 2021-02-02 10:41
- 提问者网友:萌萌小主
- 2021-02-01 20:46
计算∫∫xydydz+z^2dzdx+y^2dxdy其中∑为半球面z=√(4-x^2-y^2)的上侧
最佳答案
- 二级知识专家网友:两不相欠
- 2021-02-01 20:54
被平面Σ1:z=0,x²+y²≤4,下侧
则Σ与Σ1构成封闭曲面,用高斯公式
∫∫(Σ+Σ1) xydydz+z^2dzdx+y^2dxdy
=∫∫∫ (y+0+0)dxdydz
被积函数只剩下y,由于区域关于xoz面对称,y是奇函数,所以结果为0
综上,上面积分为0.
下面将补的Σ1减出去即可:
∫∫(Σ1) xydydz+z^2dzdx+y^2dxdy
=-∫∫ y² dxdy
用极坐标
=-∫∫ r³sin²θ drdθ
=-∫[0→2π]sin²θdθ∫[0→2] r³ dr
=-(1/2)∫[0→2π] (1-cos2θ) dθ∫[0→2] r³ dr
=-π(1/4)r^4 |[0→2]
=-4π
因此原积分=0-(-4π)=4π
希望可以帮到你,不明白可以追问,如果解决了问题,请点下面的"选为满意回答"按钮,谢谢。
则Σ与Σ1构成封闭曲面,用高斯公式
∫∫(Σ+Σ1) xydydz+z^2dzdx+y^2dxdy
=∫∫∫ (y+0+0)dxdydz
被积函数只剩下y,由于区域关于xoz面对称,y是奇函数,所以结果为0
综上,上面积分为0.
下面将补的Σ1减出去即可:
∫∫(Σ1) xydydz+z^2dzdx+y^2dxdy
=-∫∫ y² dxdy
用极坐标
=-∫∫ r³sin²θ drdθ
=-∫[0→2π]sin²θdθ∫[0→2] r³ dr
=-(1/2)∫[0→2π] (1-cos2θ) dθ∫[0→2] r³ dr
=-π(1/4)r^4 |[0→2]
=-4π
因此原积分=0-(-4π)=4π
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