微分方程2yy"=(y')^2的通解是
答案:1 悬赏:30
解决时间 2021-02-02 17:48
- 提问者网友：白柏唇蜜
- 2021-02-02 09:25
微分方程2yy"=(y')^2的通解是
最佳答案
- 二级知识专家网友：为你轻狂半世殇
- 2021-02-02 10:15
求微分方程2yy"=(y')²的通解
解：令y'=dy/dx=p..........①，则y''=dy'/dx=(dy'/dy)(dy/dx)=pdp/dy;
代入原式得： 2ypdp/dy=p²
移项，提公因式得：p(2ydp/dy-p)=0
由p=dy/dx=0，可知y=C是原方程的一个解；
由2ydp/dy-p=0，得2ydp/dy=p;
分离变量得dp/p=dy/(2y);
积分之，得lnp=(1/2)lny+lnc₁=ln(c₁√y)
故p=c₁√y；代入①式得y'=dy/dx=c₁√y；
再次分离变量得：dy/√y=c₁dx
积分之，得2√y=c₁x+c₂;
故原方程的通解为y=(c₁x+c₂)²/4.
解：令y'=dy/dx=p..........①，则y''=dy'/dx=(dy'/dy)(dy/dx)=pdp/dy;
代入原式得： 2ypdp/dy=p²
移项，提公因式得：p(2ydp/dy-p)=0
由p=dy/dx=0，可知y=C是原方程的一个解；
由2ydp/dy-p=0，得2ydp/dy=p;
分离变量得dp/p=dy/(2y);
积分之，得lnp=(1/2)lny+lnc₁=ln(c₁√y)
故p=c₁√y；代入①式得y'=dy/dx=c₁√y；
再次分离变量得：dy/√y=c₁dx
积分之，得2√y=c₁x+c₂;
故原方程的通解为y=(c₁x+c₂)²/4.
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