已知函数f（x）=x³-ax²+bx+c的图像为曲线C。

（1）若曲线C上存在点P，使曲线C在P点处的切线与X轴平行，求a，b的关系
（2）若函数f（x）可以再x=-1和x=3时取得极值，求此时a，b的值
（3）在满足（2）的条件下，f（x）＜2c在x∈[-2,6]恒成立，求c的取值范围

1）若曲线C上存在点P，使曲线C在P点处的切线与X轴平行，即函数f（x）=x³-ax²+bx+c存在极值
f'(x)=3x^2-2ax+b
判别式=4a^2-12b>0
a^2>3b
a，b的关系是 a^2>3b
(2) f'(x)=3x^2-2ax+b
函数f（x）可以在x=-1和x=3时取得极值，
x=-1 3+2a+b=0
x=3 27-6a+b=0
a=3 b=-9
（3）在满足（2）的条件下，f（x）＜2c在x∈[-2,6]恒成立，求c的取值范围
f(x)=x^3-3x^2-9x+c
f'(x)=3x^2-6x-9
x -2 -2<x<-1 -1 -1<x<3 3 3<x<6 6
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) -2+c 增 5+c 减 -27+c 增 54+c
在x∈[-2,6]最大值=54+c
54+c<2c
c>54

1) f'(x)=3x^2-2ax+b 切线与x轴平行，即f'(x)=0 有x=0的根，即有b=0. 2)f'(x)=0的根为-1， 3 得：-1+3=2=2a/3 -1*3=-3=b/3 解得：a=3, b=-9 3) f(x)=x^3-3x^2-9x+c 极大值为f(-1) =5+c<2c, 得：c>5 极小值为f(3)=-27+c<2c,得：c>-27 端点值f(-2)=-2+c<2c,得：c>-2 端点值f(6)=54+c<2c, 得：c>54 综合得：c>54

f(x)是奇函数, ∴f(x)+f(-x)=0恒成立

∴(ax²+1)/(bx+c)+(ax²+1)/(-bx+c)=0

∴1/(bx+c)+1/(-bx+c)=0

∴(-bx+c)+(bx+c)=0,即2c=0

∴c=0, f(x)=(ax²+1)/bx=ax/b+1/bx

f'(x)=a/b-1/bx²=a(x²-1/a)/bx²

令f'(x)>=0,则x>=√a/a;令f'(x)<=0,则0<x<=√a/a

∴f(x)在(0,√a/a]上单调减,在[√a/a,+∞)上单调增

∴√a/a=1/2,f(x)最小值为f(√a/a)=(1+1)/(b√a/a)=2√a/b=2

∴a=4,b=√a=2

综上,a=4,b=2,c=0