取一副三角板按图①拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A顺时针方向旋转一个大

取一副三角板按图①拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A顺时针方向旋转一个大

(1)当α为多少度时，能使得图②中AB‖DC;(2)当旋转至图③位置，此时α又为多少度图③中你能找出哪几对相似三角形，并求其中一对的相似比;(3)连接BD，当0°＜α≤45°时，探寻∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明.考点:相似三角形的判定与性质.专题:压轴题.分析:一副三角板的角度常识和相似三角形的判定定理及性质可求解.解答:解:(1)如图②，由题意∠CAC'=α，要使AB‖DC，须∠BAC=∠ACD，∴∠BAC=30°.∴α=∠CAC'=∠BAC'-∠BAC=45°-30°=15°.即α=15°时，能使得AB‖DC.(4分)(2)易得α=45°时，可得图③，此时，若记DC与AC'，BC'分别交于点E，F，则共有两对相似三角形:△BFC∽△ADC，△C'FE∽△ADE.(6分)下求△BFC与△ADC的相似比:在图③中，设AB=a，则易得 .在图③中，设AB=a，则易得AC= a.则BC=( -1)a，BC:AC=( -1)a: a=1:(2+ )或(2- ):2.(8分)注:△C'FE与△ADE的相似比为:C'F:AD=( - +1): 或( + -2):2.(3)解法一:当0°＜α≤45°时，总有△EFC'存在.∵∠EFC'=∠BDC+∠DBC'，∠CAC'=α，∠FEC'=∠C+α，∵∠EFC'+∠FEC'+∠C'=180°∴∠BDC+∠DBC'+∠C+α+∠C'=180°(11分)又∵∠C'=45°，∠C=30°∴∠DBC'+∠CAC'+∠BDC=105°(13分)解法二:在图②中，BD分别交AC，AC'于点M，N，由于在△AMN中，∠CAC'=α，∠AMN+∠CAC'+∠ANM=180°，∴∠BDC+∠C+α+∠DBC'+∠C'=180°∴∠BDC+30°+α+∠DBC'+45°=180°∴∠BDC+α+∠DBC'=105°(11分)在图③中，α=∠CAC'=45°易得∠DBC'+∠BDC=60°也有∠DBC'+∠CAC'+∠BDC=105°综上，当0°＜a≤45°时，总有∠DBC'+∠CAC'+∠BDC=105°.(13分)点评:此题主要考查了相似三角形的判定定理及一副三角板的固定角度.需注意的是利用相似性质的时候找准对应的角、对应边.