长跪不起，急求解计算第二型曲面积分

解：作辅助平面z=1，则平面z=1与旋转抛物面z=x²+y²围成旋转体v。令旋转体的底面为s1 ∵由奥高公式，得∫∫<s>x³dydz+2y³dzdx+3x²dxdy+∫∫<s1>x³dydz+2y³dzdx+3x²dxdy =∫∫<s+s1>x³dydz+2y³dzdx+3x²dxdy=∫∫∫<v>(3x²+6y²)dxdydz =∫<0,2π>dθ∫<0,1>rdr∫<r²,1>(3r²cos²θ+6r²sin²θ)dz (作柱面坐标变换) =∫<0,2π>(3cos²θ+6sin²θ)dθ∫<0,1>(1-r²)r³dr =(9π)*(1/4-1/6) =3π/4 又∫∫<s1>x³dydz+2y³dzdx+3x²dxdy=∫<0,2π>dθ∫<0,1>3r³cos²θdr (作极坐标变换) =3∫<0,2π>cos²θdθ∫<0,1>r³dr =3*π*(1/4) =3π/4 ∴∫∫<s>x³dydz+2y³dzdx+3x²dxdy=3π/4-∫∫<s1>x³dydz+2y³dzdx+3x²dxdy =3π/4-3π/4 =0。