矩阵$A=((1,2,4),(2,2,-1),(4,-1,3))$对应的二次型$f=$（ ）

矩阵$A=((1,2,4),(2,2,-1),(4,-1,3))$对应的二次型$f=$（ ）

f = x1^2 + 2x2^2 + 3x3^2 + 4x1x2 + 8x1x3 - 2x2x3

(1) a = 1 1 0 1 0 -1 0 -1 1 (2) |a-λe| = 1-λ 1 0 1 -λ -1 0 -1 1-λ c1+c3 1-λ 1 0 0 -λ -1 1-λ -1 1-λ r3-r1 1-λ 1 0 0 -λ -1 0 -2 1-λ = (1-λ)[-λ(1-λ)-2] = (1-λ)(λ^2-λ-2) = (1-λ)(2-λ)(-1-λ). 所以 a 的特征值为 1,2,-1. (a-e)x=0 的基础解系为: a1=(1,0,1)^t (a-2e)x=0 的基础解系为: a2=(1,1,-1)^t (a+e)x=0 的基础解系为: a3=(-1,2,1)^t 单位化得 b1=(1/√2)(1,0,1)^t b2=(1/√3)(1,1,-1)^t b3=(1/√6)(-1,2,1)^t 令p=(b1,b2,b3), 则 x=py 为正交变换, 且 f=y1^2+2y2^2-y3^2. (3) 因为正惯性指数为2 (≠3), 所以 二次型不是正定的