如何证明圆锥的体积公式

看到了老师的模型明白了三棱锥的体积的求法，可是圆锥的体积是怎么得到的呢？其他棱锥的体积如何得到呢

圆锥的体积
　　一个圆锥所占空间的大小,叫做这个圆锥的体积．
　　一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3
　　根据圆柱体积公式V=Sh（V=rrπh）,得出圆锥体积公式：
圆锥
V=1/3Sh
　　S是圆锥的底面积,h是圆锥的高,r是圆锥的底面半径.
　　证明：
　　把圆锥沿高分成k分 每份高 h/k,
　　第 n份半径：n*r/k
　　第 n份底面积：pi*n^2*r^2/k^2
　　第 n份体积：pi*h*n^2*r^2/k^3
　　总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
　　因为
　　1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
　　所以
　　总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
　　=pi*h*r^2* k*(k+1)*(2k+1)/6k^3
　　=pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
　　因为当n越来越大,总体积越接近于圆锥体积,1/k越接近于0
　　所以pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*r^2/3
　　因为V圆柱=pi*h*r^2
　　所以
　　V圆锥是与它等底等高的V圆柱体积的1/3

dV=rdrdθdz 设圆锥高h，底面半径R 侧面z=h-h/R*r)rdr=πR^2h/柱面坐标系 x=rcosθ,y=rsinθ, 体积V=∫(0到2π)dθ∫(h-h/R*r,z=z

你好！！！

圆锥的体积公式？我没学过。。。。。

不过。


证明一下圆锥的体积是与它等地等高圆柱的1/3
 除了倒沙子、倒水之外。 
能不能科学点？

积分。 
不然用祖暅原理加一点几何直观的办法也可以。 

会问这个问题的大概肯定不会微积分，所以我说一下用祖暅原理的想法。 
祖暅原理指：等高处横截面积恒相等的两个立体，其体积也必然相等。严格证明其实还是要用微积分，不过这个比较直观，拿来用吧。 

圆锥的横截面是一个圆，用几何关系不难推出截面圆的半径与截面与顶点距离h、圆锥高h及底面大圆半径r的关系（请自己画个图做），设它为r，则易见r = rh/h。 
于是看出r与高h是一次关系，故可以构造一个三棱锥，使它与圆锥等高且截面积与之相等。问题转化为求三棱锥体积。 
三棱锥体积可以用割补的方法来证明，为了简单，还可以用祖暅原理化为求底为直角三角形的直棱锥，在立方体上进行割补。就不详细写了。

谢谢！！！

圆锥的体积=1/3×圆周率×半径的平方×高 V= πr^2h/3

v=s乘h

圆锥是圆柱体积的三分之一 V圆锥=(π*H*R^2)/3 其他正棱锥则是正棱柱体积的三分之一 V正棱锥=H*S下底/3