PA=根号2 PB=4以AB为一边的正方形ABCD，使P,D两点落在直线AB的两侧。求PD的最大值及角APB的大小

PA=根号2 PB=4以AB为一边的正方形ABCD，使P,D两点落在直线AB的两侧。求PD的最大值及角APB的大小

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河马1994


2010-04-19



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当∠apb＝135°时，pd最大。 证明如下： 过a作aq⊥ap，使q、b在ap的两侧，且qa＝pa。 ∵abcd是正方形，∴ad＝ab、∠dab＝90°。 ∴∠pad＝∠pab＋∠dab＝90°＋∠pab＝∠paq＋∠pab＝∠qab。 由qa＝pa、ab＝ad、∠qab＝∠pad，得：△qab≌△pad，∴qb＝pd。 ∵qa＝pa、qa⊥pa，∴∠apq＝45°、pq＝√2pa＝2。 ∴pq＋pb＝2＋4＝6。 考查点p、q、b，显然有：qb≦pq＋pb＝6。 很明显，当b、p、q共线时，qb有最大值为6，即此时pd有最大值。 于是：当pd取得最大值时，∠pab＝180°－∠apq＝180°－45°＝135°。