圆E是三角形ABC的外接圆，∠BAC=45，AO⊥BC于O，且BO=2，CO=3，分别以BC、AO所在直线建立坐标系

圆E是三角形ABC的外接圆，∠BAC=45，AO⊥BC于O，且BO=2，CO=3，分别以BC、AO所在直线建立坐标系

如下图，已知圆E是三角形ABC的外接圆，∠BAC=45D，BO=2，CO=3，AO⊥BC，以O为原点建立XOY坐标系。求过ABC三点的抛物线。
解：延长AO交圆E于F，连结BF和FC；在Rt△AOC和Rt△BOF中，∠ACO=∠BFO; △AOC∽Rt△BOF; BO/AO=FO/OC=BF/AC; ∵ ∠A=45D,∴∠ABC+∠ACB=180-45=135D;  设：∠ABO=a，∠ACB=135-a;BOtana=OCtan(135-a); tan(135-a)=(tan135-tana)/(1-tan135tana)=(-1-tana)/(1-tana)=(tana+1)/(tana-1); 即2tana=3(tana+1)/(tana-1);整理，得：  2tan^2a-5-3=0, 解得：tana1,2={-(-5)+/-√[(-5)^2-4*2*(-3)]}/2*2=3,-1/3(负数不合题意，舍去。），tana=3; AO=2tana=6; ABC三点的坐标分别为：A(0,6),B(-2,0),C(0,3); F点横坐标为（-2+3)/2=1/2：F(1/2,0); 设：解析式y=A(x+2)(x-3), 代入A，得：6=A*2*(-3)=-6, A=-1; 解析式为：y=-x^2+x+6。
若P为抛物线的动点，使△AOP为直角三角形的点，应该有6个，不过需要验证。