s=1*1+2*2+3*3+4*4+.......+n*n=1/6n(n+1)(2n+1)

s=1*1+2*2+3*3+4*4+.......+n*n=1/6n(n+1)(2n+1)

n^3-(n-1)^3=n^2+n(n-1)+(n-1)^2=n^2+2(n-1)^2+(n-1)
(n-1)^3-(n-2)^3=(n-1)^2+(n-1)(n-2)+(n-2)^2=(n-1)^2+2(n-2)^2+(n-2)
以此类推……
2^3-1^3=2^2+2*1+1^2
将上述式子全部累加起来
得到
n^3-1^3=3*(n^2+(n-1)^2+……+1^2)-2*n^2+((n-1)+(n-2)+……+1）
整理即得结果，这一思路可以用来推出三次方和

因为（n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1 将n=1,2,3,.....分别代入上式可得 2^3-1^3=3x1^2+3x1+1 3^3-2^3=3x2^2+3x2+1 ...... （n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1 将上式累加起来可得 （n+1)^3-1^3=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+.....+n)+n 又1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)/2 所以1方+2方+3方+……+n方=1/6n(n+1)(2n+1） 或者用数学归纳法 1^2=1/6*1（2*1+1）（1+1）=1/6*6=1 1^2+2^2=1/6*（2*2+1）（2+1）=1/6*30=5 ................................... 假设1方+2方+3方+……+n方=1/6n（2n+1)(n+1) 则 1^2+2^2+3^2+……+n^2+（n+1）^2 =1/6n（2n+1)(n+1)+(n+1)^2 =1/6(n+1)(2n^2+n+6n+6) =1/6*(n+1)(2n+3)(n+2) =1/6*(n+1)[2(n+1)+1][(n+1)+1] 假设成立 得证