当周长为定值时，什么三角形面积最大

当周长为定值时，什么三角形面积最大

等腰直角三角形 因为刚好是正方形的一半

估计是等腰直角吧

等边直角

解：设△abc，其中ab=c，ac=b，bc=a，a+b+c=2p(定值)。 △abc的内切圆圆心0是三条角平分线的交点，s△abo=rc/2，s△aco=rb/2，s△bco=ra/2，s△abc=s△abo+s△aco+s△bco=r(a+b+c)/2=rp；根据海伦公式，s2△abc=p(p-a)(p-b)(p-c)，所以有r2p2=p(p-a)(p-b)(p-c)，r2=(p-a)(p-b)(p-c)/p。 ∵(p-a)+(p-b)+(p-c)=3p-2p=p(定值)；可以证明三个数和一定的时候，只有当它们分别相等的时候积最大。也就是说当r取最大值的时候存在p-a=p-b=p-c，即a=b=c=2p/3，此时△abc是等边三角形：r2max=p2/27。内切圆面积s=πr2=πp2/27。 ★另，关于三个正数x、y、z，x+y+z=c(定值)时，xyz=xy(c-x-y)=cxy-x2y-xy2，可以将x看成主元，则xyz=-yx2-(y2-cy)x是一个开口向下的抛物线，函数在对称轴上取得最大值，对称轴x=-b/2a=(cy-y2)/2y=c/2-y/2；最大值m=(4ac-b2)/4a=(y2-cy)2/4y，m的导函数m’=3y2/4-cy+c2/4=0，分解因式有(y-c)(3y-c)=0；可解得y1=c(此时xyz=0，m取得最小值)，y2=c/3(此时xyz=c3/27，m取最大值)。所以，当y=c/3时，m有最大值，此时，x=-b/2a=(cy-y2)/2y=c/2-y/2=c/2-c/6=c/3，z=c-x-y=c-c/3-c/3=c/3，即x=y=z=c/3时，其乘积最大