设∫(tanx)^ndx,I(n)=1/(n-1)*(tanx)^(n-1)-I(n-2),并求∫(tanx)^5dx,上面的n是下标
答案:2 悬赏:50
解决时间 2021-03-02 13:38
- 提问者网友：騷女、無惡不作
- 2021-03-01 17:26
设∫(tanx)^ndx,I(n)=1/(n-1)*(tanx)^(n-1)-I(n-2),并求∫(tanx)^5dx,上面的n是下标
最佳答案
- 二级知识专家网友：苦柚恕我颓废
- 2021-03-01 18:03
I(n) = tanⁿ⁻¹x/(n - 1) - I(n - 2)
∫ tan⁵x dx = I(5)
= tan⁵⁻¹x/(5 - 1) - I(3)
= (1/4)tan⁴x - ∫ tan³x dx
= (1/4)tan⁴x - [tan³⁻¹/(3 - 1) - I]
= (1/4)tan⁴x - (1/2)tan²x + ∫ tanx dx
= (1/4)tan⁴x - (1/2)tan²x + ∫ - d(cosx)/cosx
= (1/4)tan⁴x - (1/2)tan²x - ln|cosx| + C
∫ tan⁵x dx = I(5)
= tan⁵⁻¹x/(5 - 1) - I(3)
= (1/4)tan⁴x - ∫ tan³x dx
= (1/4)tan⁴x - [tan³⁻¹/(3 - 1) - I]
= (1/4)tan⁴x - (1/2)tan²x + ∫ tanx dx
= (1/4)tan⁴x - (1/2)tan²x + ∫ - d(cosx)/cosx
= (1/4)tan⁴x - (1/2)tan²x - ln|cosx| + C
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- 1楼网友：承载所有颓废
- 2021-03-01 19:15
in=∫(tanx)^ndx
=∫(tanx)^(n-2)×tan²xdx
=∫(tanx)^(n-2)×(1/cos²x-1)dx
=∫((tanx)^(n-2)×1/cos²x-(tanx)^(n-2))dx
=∫(tanx)^(n-2)×1/cos²xdx-∫(tanx)^(n-2)dx
=∫(tanx)^(n-2)dtanx-∫(tanx)^(n-2)dx
=(tanx)^(n-1)/(n-1) -i[n-2]
∵i1=∫tanxdx=∫sinx/cosx dx=∫-dcosx/cosx=-ln|cosx|+c
∴∫(tanx)^5dx
=i5
=(tanx)^4/4-i3
=(tanx)^4/4-(tanx²/2-i1)
=(tanx)^4/4-tanx²/2+i1
=(tanx)^4/4-tanx²/2-ln|cosx|+c
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