设f（x，y）在D：x2+y2≤1上有连续偏导数，且在边界上函数值为零，f（0，0）=2008．则limε→0+?ε2≤x2+

设f（x，y）在D：x2+y2≤1上有连续偏导数，且在边界上函数值为零，f（0，0）=2008．则limε→0+?ε2≤x2+y2≤1xf′x+yf′yx2+y2dxdy=______．

因为

?
?2≤x2+y2≤1
x
f ′
x
+y
f ′
y

x2+y2 dxdy
=
?
?2≤x2+y2≤1 (
?
?x (
x
x2+y2 f(x，y))+
?
?y (
y
x2+y2 f(x，y)))dxdy-
?
?2≤x2+y2≤1 (
?
?x (
x
x2+y2 )+
?
?y (
y
x2+y2 ))f(x，y)dxdy
=I1+I2．
计算可得，I2=
?
?2≤x2+y2≤1 0dxdy=0．
注意到f（x，y）在x2+y2=1上的函数值为零，
故利用格林公式以及积分中值定理可得可得，
I1=
∮
x2+y2＝1
x
x2+y2 f(x，y)dy?
y
x2+y2 f(x，y)dx-
∮
x2+y2＝?2
x
x2+y2 f(x，y)dy?
y
x2+y2 f(x，y)dx
=0-
1
?2
∮
x2+y2＝?2 xf(x，y)dy?yf(x，y)dx
=-
1
?2
?
x2+y2≤?2 [(f+x
f ′
x
)+(f+y
f ′
y
)]dxdy
=-π(2f(ξ，η)+ξ
f ′
x
(ξ，η)+η
f ′
y
(ξ，η))，
其中ξ2+η2=1．
因此，
?
?2≤x2+y2≤1
x
f ′
x
+y
f ′
y

x2+y2 dxdy=-π(2f(ξ，η)+ξ
f ′
x
(ξ，η)+η
f ′
y
(ξ，η))，ξ2+η2=1．
当?→0时，（ξ，η）→（0，0），
又因为f（x，y）在D：x2+y2≤1上有连续偏导数，
所以，
lim
?→0
?
?2≤x2+y2≤1
x
f ′
x
+y
f ′
y

x2+y2 dxdy=-
lim
?→0 π(2f(ξ，η)+ξ
f ′
x
(ξ，η)+η
f ′
y
(ξ，η))=-2πf（0，0）=-4016π．
故答案为：-4016π．