数学题：a，b，c为三角形三边，且满足a²（b-c)+b²(c-a)+c²(a-b)=0,试判断三角形的形状。

数学题：a，b，c为三角形三边，且满足a²（b-c)+b²(c-a)+c²(a-b)=0,试判断三角形的形状。

a²（b-c)+b²(c-a)+c²(a-b)=0
a^2b-a^2c+b^2c-b^2a+c²(a-b)=0
c²(a-b)-a^2c+b^2c+a^2b-b^2a=0
(a-b)c^2-(a+b)(a-b)c+ab(a-b)=0
(a-b)[c^2-(a+b)c+ab]=0
(a-b)(c-a)(c-b)=0
所以c=a或者c=b或者a=b
三角形的形状为等腰三角形

a=b=c 正三角形

由a²（b-c)+b²(c-a)+c²(a-b)=0得 (b-c)a²-(b²-c²)a+b²c-c²b=0 (b-c)a²-(b-c)(b+c)a+bc(b-c)=0 (b-c)[a²-(b+c)a+bc]=0 可知：b-c=0 ① 或 a²-(b+c)a+bc=0② 由 ①得b=c ②是关于a的一元二次方程，有：a={(b+c)±√{[-(b+c)]²-4bc}}/2 a=[b+c±√(b-c)²]/2 当b＞c时，a1=(b+c+b-c)/2=b；a2=(b+c-b+c)/2=c 当b＜c时，a1=(b+c+c-b)/2=c；a2=(b+c-c+b)/2=b 可见，不管是b＞c，还是b＜c，总有a=b或者a=c 这里为什么不讨论b=c呢？因为被b=c时，②式可以不成立。 综合上述方程①和②可知，要么b=c，而当b≠c时，有a=b或者a=c 所以a、b、c三个数中，至少有两个数相等。 a，b，c为三角形三边，所以此三角形为等腰三角形。